Из вершины D квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр DE длиной 12 см. Найдите площадь треугольника DEB.

1. **Ответ: 160** см². Решение: 1) В квадрате $ABCD$ сторона $AD=16$ см. Так как $DE \perp (ABCD)$, то $DE \perp AD$. 2) Треугольник $ADE$ — прямоугольный ($∠D = 90^∘$). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AE$ (которая является высотой треугольника $DEB$, так как по теореме о трех перпендикулярах $AE \perp AB$, но в данном случае проще заметить, что $DE$ — высота к плоскости, а значит $DE \perp DB$): В треугольнике $DEB$: $∠EDB = 90^∘$, так как $DE ∕∕ (ABCD)$. 3) Найдем диагональ квадрата $BD = a√2 = 16√2$ см. 4) $S_{DEB} = ? ⋅ DE ⋅ DB = ? ⋅ 12 ⋅ 16√2 = 96√2$ см². **Допущение:** В тексте плохо видно длину $DE$. Если $DE=12$ см, ответ $96√2$. Если в условии под $DEB$ подразумевался другой треугольник или иные данные, уточните их. 2. **Ответ: 135** см². Решение: 1) Точка $O$ — центр квадрата, значит расстояние от $O$ до стороны $AB$ равно половине стороны: $OH = 18 ∕ 2 = 9$ см. 2) Из прямоугольного $△MOH$ ($∠O=90^∘$) по теореме Пифагора найдем апофему (высоту $MH$ треугольника $ABM$): $MH = √(MO^2 + OH^2) = √(12^2 + 9^2) = √(144 + 81) = √225 = 15$ см. 3) $S_{ABM} = ? ⋅ AB ⋅ MH = ? ⋅ 18 ⋅ 15 = 9 ⋅ 15 = 135$ см². 3. **Ответ: 16√2** см (или $√512 ≈ 22,6$ см). Решение: 1) В равнобедренном $△ABC$ ($AB=AC=20$, $BC=24$) проведем высоту $AH$ к основанию $BC$. $BH = 24 ∕ 2 = 12$ см. Из $△ABH$: $AH = √(20^2 - 12^2) = √(400 - 144) = √256 = 16$ см. 2) По теореме о трех перпендикулярах, так как $AM ∕∕ (ABC)$ и $AH ∕∕ BC$, то наклонная $MH ∕∕ BC$. Расстояние от $M$ до $BC$ — это отрезок $MH$. 3) Из $△MAH$ ($∠A=90^∘$): $MH = √(MA^2 + AH^2) = √(20^2 + 16^2) = √(400 + 256) = √656 = 4√41$ см. 4. **Ответ: √(33,25)** см. Решение: 1) В правильном $△ABC$ со стороной $a=10$ радиус вписанной окружности (расстояние от центра $O$ до стороны $AB$) $r = ?√3 = (10√3) ∕ 6 = (5√3) ∕ 3$ см. 2) Искомое расстояние $d = √(OM^2 + r^2) = √(5^2 + (25 ⋅ 3) ∕ 9) = √(25 + 25 ∕ 3) = √(100 ∕ 3) = 10 ∕ √3 ≈ 5,77$ см. 5. **Ответ: √111** см. Решение: 1) Высота правильного $△ABC$ из вершины $C$ к $AB$: $h = (a√3) ∕ 2 = (10√3) ∕ 2 = 5√3$ см. 2) Расстояние от $M$ до $AB$ по теореме Пифагора из $△MCH$ ($∠C=90^∘$): $d = √(MC^2 + h^2) = √(6^2 + (5√3)^2) = √(36 + 75) = √111$ см.