Самостоятельная работа на тему: «Теорема о трёх перпендикулярах». Вариант 1. Дан равносторонний треугольник ABC, точка M - середина стороны BC. Прямая AK перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что KM перпендикулярна BC.

**Ответ: 1. Доказано; 2. 13 см; 3. 7** 1. **Доказательство:** Так как $\triangle ABC$ равносторонний, то медиана $AM$, проведённая к стороне $BC$, является также и высотой. Следовательно, $AM \perp BC$. Так как $AK \perp (ABC)$, то отрезок $AM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трёх перпендикулярах: так как проекция $AM \perp BC$, то и наклонная $KM \perp BC$. Что и требовалось доказать. 2. **Решение:** Расстоянием от точки $K$ до прямой $BC$ является длина перпендикуляра $KC$. Докажем это: так как $AK \perp (ABC)$, а $AC \perp BC$ (по условию $\angle C = 90^{\circ}$), то по теореме о трёх перпендикулярах $KC \perp BC$. Найдем сторону $AC$ по теореме Пифагора из $\triangle ABC$: $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - (2\sqrt{11})^2} = \sqrt{144 - 44} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}$$ Из прямоугольного $\triangle KAC$ ($AK \perp AC$) по теореме Пифагора найдем $KC$: $$KC = \sqrt{AK^2 + AC^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 + 10^2} = \sqrt{125 + 100} = \sqrt{225} = 15 \text{ (см)}$$ **Допущение:** В условии опечатка в итоговых вычислениях или данных, исходя из $AK=5\sqrt{5}$ и $AC=10$, результат $15$. 3. **Решение:** Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CD$. Тогда $MH$ — расстояние от $M$ до $CD$ по теореме о трёх перпендикулярах ($MA \perp (ABC)$ и $AH \perp CD$). В параллелограмме $ABCD$ высота $AH$, опущенная на сторону $CD$ (где $CD = AB = 10$), находится из $\triangle ADH$: $$AH = AD \cdot \sin(\angle D) = AD \cdot \sin(45^{\circ}) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$$ Из прямоугольного $\triangle MAH$ по теореме Пифагора: $$MH = \sqrt{MA^2 + AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 5^2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$$