1. В треугольнике ABC AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Через точку B к плоскости треугольника проведен перпендикуляр BD длиной 15 см.

1. **Ответ: а) треугольник ABC; б) 17 см.** Решение: а) Так как точка $D$ проектируется в точку $B$ (по условию $BD \perp (ABC)$), а точки $A$ и $C$ уже лежат в плоскости $ABC$, то проекцией треугольника $DAC$ является треугольник $ABC$. б) Проведём высоту $BH$ в равнобедренном треугольнике $ABC$ к основанию $AC$. По теореме о трёх перпендикулярах $DH \perp AC$, значит, $DH$ — искомое расстояние. 1. В $\triangle ABC$ высота $BH$ является медианой, $AH = HC = 12 : 2 = 6$ (см). 2. Из $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ (см). 3. Из прямоугольного $\triangle DBH$ ($BD \perp BH$): $DH = \sqrt{BD^2 + BH^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ (см). 2. **Ответ: б) 45°.** Решение: а) $SO \perp (ABC)$, значит $O$ — проекция точки $S$. Отрезки $OA, OB, OC, OD$ — проекции наклонных $SA, SB, SC, SD$. В квадрате диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: $OA=OB=OC=OD$. Если проекции равны, то и наклонные равны, а значит, равны и углы между ними и плоскостью. б) 1. Сторона квадрата $a = P : 4 = 32 : 4 = 8$ (см). 2. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ (см). Тогда $OC = \frac{1}{2}AC = 4\sqrt{2}$ (см). 3. В прямоугольном $\triangle SOC$: $SO = 4\sqrt{2}$ см и $OC = 4\sqrt{2}$ см. Катеты равны, значит $\triangle SOC$ — равнобедренный, и угол $\angle SCO = 45^\circ$.