1. Дан равносторонний треугольник ABC, точка M - середина стороны BC. Прямая AK перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что KM ⊥ BC.

1. **Доказательство:** 1) Рассмотрим равносторонний $\triangle ABC$. Так как $M$ — середина $BC$, то $AM$ является медианой. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой, следовательно, $AM \perp BC$. 2) Отрезок $AK$ перпендикулярен плоскости $ABC$ по условию. Отрезок $AM$ — проекция наклонной $KM$ на плоскость $ABC$. 3) Так как проекция $AM$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то по теореме о трёх перпендикулярах (ТТП) сама наклонная $KM$ также перпендикулярна этой прямой: $KM \perp BC$. Что и требовалось доказать. 2. **Ответ: $13$ см.** **Решение:** 1) Расстоянием от точки $K$ до прямой $BC$ является длина перпендикуляра. Так как $AK \perp (ABC)$ и $AC \perp BC$ (по условию $\angle C = 90^{\circ}$), то по ТТП наклонная $KC \perp BC$. Значит, искомое расстояние — это длина отрезка $KC$. 2) Найдем $AC$ из прямоугольного $\triangle ABC$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 - BC^2 = 12^2 - (2\sqrt{11})^2 = 144 - 44 = 100$, откуда $AC = 10$ см. 3) Из прямоугольного $\triangle KAC$ (где $\angle KAC = 90^{\circ}$): $KC = \sqrt{AK^2 + AC^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 + 10^2} = \sqrt{125 + 100} = \sqrt{225} = 15$ см. **Допущение:** в моих расчетах получилось 15, перепроверим числа. $144 - 44 = 100$, $\sqrt{100}=10$. $25 \cdot 5 = 125$. $125 + 100 = 225$. $\sqrt{225} = 15$. Ответ: **15 см**. 3. **Ответ: $7$ см.** **Решение:** 1) Проведем высоту $AH$ в параллелограмме $ABCD$ к прямой $CD$. По ТТП, если $AH \perp CD$, то наклонная $MH \perp CD$. Расстояние от $M$ до $CD$ — это отрезок $MH$. 2) В параллелограмме $CD = AB = 10$, $\angle D = \angle B$ или используем $\angle D = 180^{\circ} - \angle A$ (в зависимости от расположения). Обычно в таких задачах $\angle D$ берется как острый, если $A=45^{\circ}$, то $\angle D = 180-45=135^{\circ}$ или $\angle D = \angle B$. Если $AD$ и $CD$ стороны, то в $\triangle ADH$ ($H$ на продолжении или на стороне): $AH = AD \cdot \sin(45^{\circ}) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ см. 3) Из прямоугольного $\triangle MAH$ ($MA \perp AH$): $MH = \sqrt{MA^2 + AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 5^2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$ см.