1. Два угла треугольника равны 58° и 72°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. 2. Найдите квадрат длины вектора a + b. 3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2. 4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. 5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,3. Такова же вероятность того, что кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. 6. Найдите корень уравнения 1/(4x+11) = 1/10.

1. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Третий угол треугольника равен: $180^{\circ} - (58^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$. В четырехугольнике, образованном двумя высотами и двумя углами (вершиной треугольника и точкой пересечения высот), сумма углов равна $360^{\circ}$. Два угла прямые ($90^{\circ}$), один равен $50^{\circ}$. Тупой угол между высотами: $180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$ (смежный с острым углом в прямоугольных треугольниках). **Ответ: 130**. 2. Определим координаты векторов: $\vec{a} = (5-3; 7-3) = (2; 4)$ $\vec{b} = (9-5; 2-3) = (4; -1)$ Сумма векторов: $\vec{a} + \vec{b} = (2+4; 4+(-1)) = (6; 3)$ Квадрат длины вектора: $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$. **Ответ: 45**. 3. Многогранник $ABCA_1C_1$ — это четырехугольная пирамида с основанием $AA_1C_1C$ (прямоугольник) и высотой, равной высоте основания призмы, либо его можно рассматривать как часть призмы. Объем призмы $V_{пр} = S_{осн} \cdot h = 3 \cdot 2 = 6$. Искомый многогранник — это призма без пирамиды $B A_1 B_1 C_1$. Объем пирамиды с тем же основанием и высотой составляет $\frac{1}{3}$ объема призмы. Объем $ABCA_1C_1$ составляет $\frac{2}{3}$ от объема призмы: $V = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$. **Ответ: 4**. 4. Всего исходов при броске двух костей: $6 \cdot 6 = 36$. Благоприятные исходы (сумма 8): (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — всего 5 исходов. Вероятность $P = \frac{5}{36} \approx 0,1388... \approx 0,14$. **Ответ: 0,14**. 5. Пусть $A$ — кофе закончится в 1-м автомате, $B$ — во 2-м. $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,3$, $P(A \cap B) = 0,16$. Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,3 + 0,3 - 0,16 = 0,44$. Вероятность того, что кофе останется в обоих (противоположное событие): $1 - 0,44 = 0,56$. **Ответ: 0,56**. 6. $\frac{1}{4x + 11} = \frac{1}{10}$ $4x + 11 = 10$ $4x = 10 - 11$ $4x = -1$ $x = -0,25$ **Ответ: -0,25**.