1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, BC = 15. Найдите sin A.

1. Чтобы найти $\sin A$ в прямоугольном треугольнике, нам нужно знать длину гипотенузы $AB$. Используем теорему Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $AB^2 = 20^2 + 15^2$ $AB^2 = 400 + 225$ $AB^2 = 625$ $AB = \sqrt{625} = 25$ Теперь, когда мы знаем все стороны, можем найти $\sin A$. Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$ **Ответ: 0,6** 2. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$. Для векторов $\vec{a}(4; 13)$ и $\vec{b}(-7; 9)$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-7) + 13 \cdot 9$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = -28 + 117$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 89$ **Ответ: 89** 3. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ основание $ABCD$ — квадрат, а точка $O$ — его центр. Значит, $AC$ — диагональ квадрата. Длина диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата. Также $AO = OC = \frac{1}{2} AC$. Дано $AC = 24$, поэтому $AO = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$. Треугольник $SOC$ — прямоугольный, так как $SO$ — высота пирамиды, перпендикулярная плоскости основания. В нём $SC$ — гипотенуза, $SO$ и $OC$ — катеты. По теореме Пифагора: $SC^2 = SO^2 + OC^2$ Дано $SC = 15$ и $OC = AO = 12$. $15^2 = SO^2 + 12^2$ $225 = SO^2 + 144$ $SO^2 = 225 - 144$ $SO^2 = 81$ $SO = \sqrt{81} = 9$ **Ответ: 9** 4. Всего учёных: $6$ (Голландия) + $5$ (Италия) + $4$ (Чехия) = $15$ человек. Вероятность того, что первый докладчик будет из Голландии: $P_1 = \frac{6}{15}$. Вероятность того, что второй докладчик будет из Голландии (при условии, что первый тоже был из Голландии): $P_2 = \frac{5}{14}$. Вероятность того, что третий докладчик будет из Голландии: $P_3 = \frac{4}{13}$. Вероятность того, что четвёртый докладчик будет из Голландии: $P_4 = \frac{3}{12}$. Вероятность того, что все первые четыре докладчика окажутся из Голландии, равна произведению этих вероятностей: $P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 \cdot P_4 = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{3}{12}$ $P = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12} = \frac{360}{32760} = \frac{1}{91} \approx 0,010989$ **Ответ: $\frac{1}{91}$** 5. Пусть событие $A$ — сканер прослужит больше года. $P(A) = 0,9$. Пусть событие $B$ — сканер прослужит больше двух лет. $P(B) = 0,88$. Мы ищем вероятность того, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года. Это значит, что он прослужит от 1 года до 2 лет. Вероятность того, что сканер прослужит больше года, но не больше двух лет, можно найти как $P(A) - P(B)$. $P(\text{1 год < срок службы <= 2 года}) = P(A) - P(B) = 0,9 - 0,88 = 0,02$. **Ответ: 0,02** 6. Чтобы решить уравнение $\frac{x - 24}{x - 3} = -2$, сначала убедимся, что знаменатель не равен нулю, то есть $x \ne 3$. Умножим обе части уравнения на $(x - 3)$: $x - 24 = -2(x - 3)$ Раскроем скобки: $x - 24 = -2x + 6$ Перенесём все с $x$ в одну сторону, а числа в другую: $x + 2x = 6 + 24$ $3x = 30$ $x = \frac{30}{3}$ $x = 10$ Проверим, что $x=10$ не равен 3. $10 \ne 3$, значит, это допустимое решение. **Ответ: 10** 7. Чтобы найти значение выражения $\frac{6 \cos 207^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}$, воспользуемся формулами приведения. Угол $207^{\circ}$ можно представить как $180^{\circ} + 27^{\circ}$. $\\cos(180^{\circ} + \alpha) = -\cos \alpha$ Следовательно, $\cos 207^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 27^{\circ}) = -\cos 27^{\circ}$. Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{6 \cos 207^{\circ}}{\cos 27^{\circ}} = \frac{6 \cdot (-\cos 27^{\circ})}{\cos 27^{\circ}}$ Сократим $\cos 27^{\circ}$: $\frac{6 \cdot (-\cos 27^{\circ})}{\cos 27^{\circ}} = -6$ **Ответ: -6**