Для функции $f(x) = 2x + \frac{2}{\sqrt{1-x}}$ найдите первообразную, график которой проходит через данную точку $A(-3;1)$.

Для функции $f(x) = 2x + \frac{2}{\sqrt{1-x}}$ нужно найти первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $A(-3; 1)$. Сначала найдем общую форму первообразной $F(x)$: $$F(x) = \int f(x) dx = \int \left(2x + \frac{2}{\sqrt{1-x}}\right) dx$$ Разделим интеграл на два: $$F(x) = \int 2x dx + \int \frac{2}{\sqrt{1-x}} dx$$ Вычислим первый интеграл: $$\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = x^2 + C_1$$ Вычислим второй интеграл. Для этого сделаем замену переменной. Пусть $u = 1-x$, тогда $du = -dx$, или $dx = -du$. Тогда $\sqrt{1-x} = \sqrt{u}$. $$\int \frac{2}{\sqrt{1-x}} dx = \int \frac{2}{\sqrt{u}} (-du) = -2 \int u^{-1/2} du$$ Теперь проинтегрируем: $$-2 \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C_2 = -2 \frac{u^{1/2}}{1/2} + C_2 = -2 \cdot 2u^{1/2} + C_2 = -4\sqrt{u} + C_2$$ Возвращаемся к переменной $x$: $$-4\sqrt{1-x} + C_2$$ Собираем общую первообразную: $$F(x) = x^2 - 4\sqrt{1-x} + C$$ Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $A(-3; 1)$. Это значит, что при $x = -3$, $F(x) = 1$. Подставим эти значения в уравнение первообразной: $$1 = (-3)^2 - 4\sqrt{1 - (-3)} + C$$ $$1 = 9 - 4\sqrt{1 + 3} + C$$ $$1 = 9 - 4\sqrt{4} + C$$ $$1 = 9 - 4 \cdot 2 + C$$ $$1 = 9 - 8 + C$$ $$1 = 1 + C$$ $$C = 0$$ Итак, конкретная первообразная, проходящая через точку $A(-3; 1)$, имеет вид: $$F(x) = x^2 - 4\sqrt{1-x}$$ **Ответ:** $F(x) = x^2 - 4\sqrt{1-x}$