Отрезок KA — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Точка M — середина стороны BC, KM⊥BC. а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

1. а) Так как $KA \perp ABC$, то $KA \perp BC$. В $\triangle KBC$ медиана $KM$ опущена на $BC$. Если $KA \perp ABC$, то $KM$ является наклонной, а $AM$ — её проекцией на плоскость $ABC$. По теореме о трёх перпендикулярах, если $KM \perp BC$, то $AM \perp BC$. Поскольку $M$ — середина $BC$ и $AM$ — высота, то $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $BC$. (Доказано) б) Плоскости $KBC$ и $KAM$ перпендикулярны, потому что $KM \perp BC$ и $AM \perp BC$, а $BC$ — линия пересечения плоскостей. Так как $BC \perp KM$ и $BC \perp AM$, то $BC$ перпендикулярна плоскости $KAM$. А раз $BC$ перпендикулярна $KAM$, то любая плоскость, проходящая через $BC$ (например, $KBC$), перпендикулярна плоскости $KAM$. (Доказано) в) Дано: $\angle BKC = 60^\circ$, $BC = 6$ см, $KA = 3\sqrt{2}$ см. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, а $AM$ — высота и медиана, то $M$ — середина $BC$. $BM = MC = BC / 2 = 6 / 2 = 3$ см. В $\triangle KBM$ катет $BM = 3$ см. Так как $KM$ — медиана в $\triangle KBC$, то $\triangle KBC$ тоже равнобедренный с основанием $BC$, значит $KM$ — высота $\triangle KBC$. $KM \perp BC$. В прямоугольном $\triangle KMC$: $\tan(\angle KCM) = KM / MC$ У нас нет угла $\angle KCM$. Однако, в $\triangle KBC$ $KM$ является высотой и медианой, поэтому $\triangle KBC$ равнобедренный с $KB = KC$. Угол $\angle BKC = 60^\circ$, значит $\triangle KBC$ равносторонний. Тогда $KB = KC = BC = 6$ см. В прямоугольном $\triangle KAM$ по теореме Пифагора: $KM^2 = KA^2 + AM^2$ Или в прямоугольном $\triangle KBM$: $KB^2 = KM^2 + BM^2$ $6^2 = KM^2 + 3^2$ $36 = KM^2 + 9$ $KM^2 = 36 - 9 = 27$ $KM = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см. Теперь найдём $AM$ из прямоугольного $\triangle KAM$: $AM^2 = KM^2 - KA^2$ $AM^2 = (3\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2$ $AM^2 = 27 - 18 = 9$ $AM = \sqrt{9} = 3$ см. Площадь $\triangle ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ см$^2$. **Ответ:** **а) Доказано** **б) Доказано** **в) $9$ см$^2$**