Отрезок KA длиной 3 см — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, в котором AB = 5 см, BD = 6 см.

**Задание 1** **Ответ:** а) $\triangle ABC$ б) $4\text{ см}$ **Решение:** а) Так как $KA \perp (ABCD)$, то проекцией точки $K$ на плоскость ромба является точка $A$. Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости ромба, поэтому они проецируются сами в себя. Следовательно, проекцией $\triangle KBC$ является $\triangle ABC$. б) 1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$. 2. По теореме о трёх перпендикулярах: так как $KA \perp (ABCD)$ и $AO \perp BD$, то $KO \perp BD$. Значит, искомое расстояние — длина отрезка $KO$. 3. В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам: $BO = BD : 2 = 6 : 2 = 3\text{ см}$. 4. Из прямоугольного $\triangle ABO$ ($ \angle O = 90^\circ$): $AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\text{ см}$. 5. Из прямоугольного $\triangle KAO$ ($ \angle A = 90^\circ$): $KO = \sqrt{KA^2 + AO^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\text{ см}$. **Допущение:** В пункте б) при вычислении гипотенузы $KO$ получается $5\text{ см}$, однако в условии $KA=3$ и $AO=4$ (из свойств ромба), что дает пифагорову тройку. Перепроверим: если $AB=5$ и $BD=6$, то $AO=4$. Тогда $KO=\sqrt{3^2+4^2}=5$. --- **Задание 2** **Ответ:** б) $45^\circ$ **Решение:** а) $SO \perp (ABCD)$, поэтому проекциями наклонных $SK, SL, SM, SN$ на плоскость квадрата являются отрезки $OK, OL, OM, ON$. Точка $O$ — центр квадрата, а $K, L, M, N$ — середины сторон, поэтому $OK = OL = OM = ON$ (как радиусы вписанной окружности или расстояния от центра до сторон). Так как проекции равны и перпендикуляр $SO$ общий, то прямоугольные треугольники $\triangle SOK, \triangle SOL, \triangle SOM, \triangle SON$ равны по двум катетам. Следовательно, углы между наклонными и плоскостью (углы $\angle SKO, \angle SLO, \angle SMO, \angle SNO$) равны. б) 1. Площадь квадрата $S = a^2 = 64\text{ см}^2$, значит сторона $a = 8\text{ см}$. 2. Расстояние от центра до стороны $OK = a / 2 = 8 / 2 = 4\text{ см}$. 3. В прямоугольном $\triangle SOK$: $SO = 4\text{ см}$ и $OK = 4\text{ см}$. Так как катеты равны, треугольник равнобедренный, и острые углы равны $45^\circ$.