Отрезок SA длиной 15 см — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором AC = 10 см, AB = 6 см. а) Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскость прямоугольника имеют равные площади. б) Найдите расстояние от точки S до прямой CD.

Question

Вопрос:

Отрезок SA длиной 15 см — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором AC = 10 см, AB = 6 см. а) Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскость прямоугольника имеют равные площади. б) Найдите расстояние от точки S до прямой CD.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: а) Доказано; б) $3\sqrt{17}$ см (или $\approx 12,37$ см)** **Решение:** **а)** Проекцией точки $S$ на плоскость $(ABC)$ является точка $A$, так как $SA \perp (ABC)$. 1. Проекцией $\triangle SBC$ на плоскость $(ABC)$ является $\triangle ABC$. 2. Проекцией $\triangle SDC$ на плоскость $(ABC)$ является $\triangle ADC$. 3. Диагональ $AC$ делит прямоугольник $ABCD$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABC = \triangle ADC$. 4. Так как треугольники равны, их площади также равны: $S_{ABC} = S_{ADC}$. Что и требовалось доказать. **б)** Найдём расстояние от точки $S$ до прямой $CD$. 1. Так как $SA \perp (ABC)$ и $AD \perp CD$ (стороны прямоугольника), то по теореме о трёх перпендикулярах $SD \perp CD$. Следовательно, искомое расстояние — это длина отрезка $SD$. 2. Из прямоугольного $\triangle ABC$ по теореме Пифагора найдём сторону $BC$ (равную $AD$): $$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ см}.$$ $$AD = BC = 8\text{ см}.$$ 3. Из прямоугольного $\triangle SAD$ ($SA \perp AD$ по условию перпендикулярности прямой и плоскости) по теореме Пифагора найдём $SD$: $$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\text{ см}.$$ **Ответ:** 17 см.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения