Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a. Перпендикуляры AB и CD к прямой a равны. а) Докажите, что \triangle ABD = \triangle CDB. б) Найдите \angle ABC, если \angle ADB = 44°.

1. Точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $a$. Перпендикуляры $AB$ и $CD$ к прямой $a$ равны. а) Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CDB$. б) Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADB = 44^{\circ}$. **а) Доказательство:** Дано: * $A$, $C$ лежат по одну сторону от прямой $a$. * $AB \perp a$, $CD \perp a$. * $AB = CD$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. У них: 1. $AB = CD$ (по условию). 2. Сторона $BD$ — общая. 3. $\angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ}$ (так как $AB \perp a$ и $CD \perp a$). По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (или по катету и острому углу, если рассматривать $AB$ и $CD$ как катеты, а $BD$ как гипотенузу, но здесь корректнее по катету и общей гипотенузе, что означает, что $\triangle ABD = \triangle CDB$). **б) Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADB = 44^{\circ}$.** Из пункта а) мы доказали, что $\triangle ABD = \triangle CDB$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ABD = \angle CDB$ Также, так как $AB \perp a$ и $CD \perp a$, то $AB \parallel CD$. $BD$ является секущей. Тогда $\angle ABD$ и $\angle CDB$ являются накрест лежащими углами, а $\angle ABD$ и $\angle CDB$ равны, если $AB \parallel CD$. В треугольнике $\triangle ABD$ углы: $\angle BAD = 90^{\circ}$, $\angle ADB = 44^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. $\angle ABD = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 44^{\circ} = 46^{\circ}$. Из равенства треугольников $\triangle ABD = \triangle CDB$ следует, что $\angle CBD = \angle ADB = 44^{\circ}$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 46^{\circ} + 44^{\circ} = 90^{\circ}$. **Ответ:** **а) $\triangle ABD = \triangle CDB$ по катету и общей гипотенузе.** **б) $\angle ABC = 90^{\circ}$.**