Докажи, что прямая $m$ параллельна плоскости $\alpha$, если основание $AD$ трапеции $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, вершина $C$ не лежит в этой плоскости, и прямая $m$ проведена через середины боковых сторон трапеции.

**Вариант 1** **1. Основание $AD$ трапеции $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Вершина $C$ не лежит в этой плоскости. Через середины боковых сторон трапеции проведена прямая $m$. Докажите, что прямая $m$ параллельна плоскости $\alpha$.** Пусть $E$ и $F$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Прямая $m$ — это средняя линия трапеции $ABCD$. По свойству средней линии трапеции, средняя линия параллельна основаниям трапеции. Таким образом, $m \parallel AD$. Поскольку основание $AD$ трапеции $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, и прямая $m$ параллельна $AD$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $m$ параллельна плоскости $\alpha$. **2. Дан треугольник $MPK$. Плоскость, параллельная прямой $MK$, пересекает сторону $MP$ в точке $M_1$, а сторону $PK$ — в точке $K_1$. Вычислите длину отрезка $M_1K_1$, если $MK = 27$ см, $PK_1 : K_1K = 5 : 4$.** По условию, плоскость, параллельная прямой $MK$, пересекает стороны $MP$ и $PK$ треугольника $MPK$ в точках $M_1$ и $K_1$ соответственно. Следовательно, отрезок $M_1K_1$ параллелен $MK$. Треугольники $PM_1K_1$ и $PMK$ подобны по двум углам (угол $P$ общий, и $\angle PM_1K_1 = \angle PMK$ как соответственные углы при параллельных прямых $M_1K_1$ и $MK$ и секущей $MP$). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{M_1K_1}{MK} = \frac{PK_1}{PK}$$ Дано, что $PK_1 : K_1K = 5 : 4$. Это значит, что $PK_1 = 5x$ и $K_1K = 4x$ для некоторого $x$. Тогда $PK = PK_1 + K_1K = 5x + 4x = 9x$. Значит, отношение $PK_1 : PK = 5x : 9x = 5 : 9$. Теперь подставим известные значения в отношение сторон: $$\frac{M_1K_1}{27} = \frac{5}{9}$$ $$M_1K_1 = 27 \cdot \frac{5}{9}$$ $$M_1K_1 = 3 \cdot 5$$ $$M_1K_1 = 15$$ **Ответ: $M_1K_1 = 15$ см.** **3. Точка $O$ не лежит в плоскости параллелограмма $ABCD$. Как расположены прямые $AB$ и $p$, проходящие через середины отрезков $OC$ и $OD$? Найдите угол между прямыми $p$ и $BC$, если $\angle BAD=130^\circ$.** Обозначим середины отрезков $OC$ и $OD$ как $E$ и $F$ соответственно. Прямая $p$ проходит через точки $E$ и $F$. В треугольнике $OCD$ отрезок $EF$ является средней линией, так как $E$ и $F$ — середины сторон $OC$ и $OD$. По свойству средней линии треугольника, $EF \parallel CD$ и $EF = \frac{1}{2}CD$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. Из этого следует, что $EF \parallel AB$. То есть прямые $AB$ и $p$ (которая является прямой $EF$) параллельны. Теперь найдем угол между прямыми $p$ и $BC$. Так как $p \parallel CD$, то угол между $p$ и $BC$ равен углу между $CD$ и $BC$. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$. Дано $\angle BAD = 130^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. И $\angle BCD = \angle BAD = 130^\circ$. Угол между прямыми $CD$ и $BC$ — это угол $\angle BCD$, который равен $130^\circ$. Однако угол между двумя прямыми по определению не может быть больше $90^\circ$. Если угол между прямыми тупой, то берется смежный с ним острый угол. Поэтому, угол между прямыми $CD$ и $BC$ равен $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. Так как прямая $p$ параллельна $CD$, то угол между прямыми $p$ и $BC$ равен $50^\circ$. **Ответ: прямые $AB$ и $p$ параллельны; угол между прямыми $p$ и $BC$ равен $50^\circ$.** **Вариант 2** **1. Вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ лежат в плоскости $\beta$. Вершина $A$ ей не принадлежит. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$, параллельна плоскости $\beta$.** Пусть $D$ и $E$ — середины отрезков $AB$ и $AC$ соответственно. Прямая, проходящая через эти середины, — это отрезок $DE$. В треугольнике $ABC$ отрезок $DE$ является средней линией, так как $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $AC$. По свойству средней линии треугольника, $DE \parallel BC$. По условию, вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ лежат в плоскости $\beta$. Это означает, что отрезок $BC$ лежит в плоскости $\beta$. Поскольку прямая $DE$ параллельна $BC$, а $BC$ лежит в плоскости $\beta$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $DE$ (и, соответственно, прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$) параллельна плоскости $\beta$. **2. Дан треугольник $ABC$. Плоскость, параллельная прямой $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $A_1$, а сторону $BC$ — в точке $C_1$. Вычислите длину отрезка $BC_1$, если $CC_1 = 20$ см, $A_1C_1 : AC = 3 : 7$.** По условию, плоскость, параллельная прямой $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. Следовательно, отрезок $A_1C_1$ параллелен $AC$. Треугольники $BA_1C_1$ и $BAC$ подобны по двум углам (угол $B$ общий, и $\angle BA_1C_1 = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1C_1$ и $AC$ и секущей $AB$). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}$$ Дано, что $A_1C_1 : AC = 3 : 7$. Это значит, что $\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{3}{7}$. Тогда $\frac{BC_1}{BC} = \frac{3}{7}$. Мы также знаем, что $BC = BC_1 + CC_1$. Подставим это в отношение: $$\frac{BC_1}{BC_1 + CC_1} = \frac{3}{7}$$ Дано $CC_1 = 20$ см: $$\frac{BC_1}{BC_1 + 20} = \frac{3}{7}$$ Перемножим крест-на-крест: $$7 \cdot BC_1 = 3 \cdot (BC_1 + 20)$$ $$7 BC_1 = 3 BC_1 + 60$$ $$7 BC_1 - 3 BC_1 = 60$$ $$4 BC_1 = 60$$ $$BC_1 = \frac{60}{4}$$ $$BC_1 = 15$$ **Ответ: $BC_1 = 15$ см.** **3. Точка $O$ не принадлежит плоскости равнобедренной трапеции $KMPT$ ($KT \parallel MP$). Как расположены прямые, одна из которых содержит среднюю линию трапеции, а другая — середины отрезков $OM$ и $OP$? Найдите угол между прямой $MK$ и прямой, содержащей середины отрезков $OM$ и $OP$, если $\angle MPT = 110^\circ$.** Пусть $A$ и $B$ — середины боковых сторон $KM$ и $PT$ трапеции $KMPT$. Прямая $AB$ — средняя линия трапеции. По свойству средней линии трапеции, $AB \parallel KT$ и $AB \parallel MP$. Пусть $E$ и $F$ — середины отрезков $OM$ и $OP$ соответственно. Прямая $EF$ содержит эти середины. В треугольнике $OMP$ отрезок $EF$ является средней линией, так как $E$ и $F$ — середины сторон $OM$ и $OP$. По свойству средней линии треугольника, $EF \parallel MP$ и $EF = \frac{1}{2}MP$. Поскольку $AB \parallel MP$ и $EF \parallel MP$, то прямые $AB$ и $EF$ параллельны. Теперь найдем угол между прямой $MK$ и прямой $EF$. Так как $EF \parallel MP$, то угол между прямой $MK$ и прямой $EF$ равен углу между прямой $MK$ и прямой $MP$. Этот угол — $\angle KMP$. Трапеция $KMPT$ равнобедренная, $KT \parallel MP$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Дано $\angle MPT = 110^\circ$. Так как $KMPT$ — равнобедренная трапеция, то $\angle KMP = \angle TPM = 110^\circ$ (если $MP$ — нижнее основание). Но это неверно, $\angle MPT$ — это угол при основании $MP$. Тогда $\angle PMK$ и $\angle MPT$ — это углы при одной боковой стороне $MP$. Это не так, $MP$ — это основание. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны: $\angle KMP = \angle TKM$ и $\angle PMT = \angle KTP$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. $\angle KMP$ и $\angle MPT$ — это не углы, прилежащие к одной боковой стороне. Они прилежат к основанию $MP$. Углы при основании $MP$ — это $\angle KMP$ и $\angle TPM$. Углы при основании $KT$ — это $\angle TKM$ и $\angle KTL$. Если $\angle MPT = 110^\circ$, то это один из углов при основании $MP$. Тогда $\angle KMP = \angle MPT = 110^\circ$ (неверно, такого не может быть, если $KMPT$ - трапеция). **Допущение: В равнобедренной трапеции $KMPT$ углы при каждом основании равны. Если $\angle MPT = 110^\circ$, то это один из углов при нижнем основании $MP$. Тогда $\angle KMP$ — другой угол при этом основании.** **Но это не так. Углы $KMP$ и $MPT$ находятся с разных сторон отрезка $MP$.** Скорее всего, $\angle MPT$ означает угол $\angle T_1PM$, где $T_1$ — точка на прямой $PT$ за точкой $P$, либо же это угол между стороной $MP$ и стороной $PT$. Если $\angle MPT = 110^\circ$ это один из углов при основании $MP$, например, $\angle P$ в вершине $P$. Тогда $\angle MPT$ — это $\angle MPK$. Поскольку трапеция равнобедренная, то $\angle K = \angle M$ и $\angle P = \angle T$. И $\angle K + \angle P = 180^\circ$. Тогда $\angle KMP + \angle MPT = 180^\circ$. Если $\angle MPT = 110^\circ$, то $\angle KMP = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Итак, угол между прямой $MK$ и прямой $EF$ (которая параллельна $MP$) равен углу между $MK$ и $MP$, то есть $\angle KMP$. Этот угол равен $70^\circ$. **Ответ: прямые $AB$ и $EF$ параллельны; угол между прямой $MK$ и прямой $EF$ равен $70^\circ$.**