Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка P — середина стороны AD, а K — середина стороны DC. Каково взаимное положение прямых PK и AB?

1. Треугольники $ABC$ и $ADC$ лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону $AC$. Точка $P$ — середина стороны $AD$, а $K$ — середина стороны $DC$. а) Каково взаимное положение прямых $PK$ и $AB$? В треугольнике $ADC$ отрезок $PK$ соединяет середины сторон $AD$ и $DC$. Значит, по теореме о средней линии треугольника, $PK$ параллельна $AC$ и $PK = \frac{1}{2} AC$. Прямые $PK$ и $AB$ не лежат в одной плоскости и не пересекаются, так как $PK$ параллельна $AC$, а $AC$ пересекается с $AB$ в точке $A$. Если бы $PK$ и $AB$ были параллельны, то $AC$ была бы параллельна $AB$, что невозможно, так как они имеют общую точку $A$. Таким образом, прямые $PK$ и $AB$ являются скрещивающимися. **Ответ: Прямые $PK$ и $AB$ являются скрещивающимися.** б) Чему равен угол между прямыми $PK$ и $AB$, если $\angle ABC = 40^\circ$ и $\angle BCA = 80^\circ$? Поясните. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой прямой и лежащей с первой прямой в одной плоскости. Мы знаем, что $PK \parallel AC$. Значит, угол между прямыми $PK$ и $AB$ равен углу между прямыми $AC$ и $AB$. Этот угол — $\angle BAC$. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$. $$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA$$ $$\angle BAC = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ$$ $$\angle BAC = 180^\circ - 120^\circ$$ $$\angle BAC = 60^\circ$$ **Ответ: Угол между прямыми $PK$ и $AB$ равен $60^\circ$.**