Вычислите: $\sin(-\frac{\pi}{6})\cos(-\frac{\pi}{4})-\sin(-\frac{\pi}{4})\cos(-\frac{\pi}{6})$

1) Используем формулы приведения: $$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$$ $$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$$ Также вспоминаем формулу синуса разности: $$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$$ Тогда наше выражение: $$ \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\sin\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{4} - \left(-\sin\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) $$ Приводим дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12} $$ Получаем: $$ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) $$ Значение \(\sin(\frac{\pi}{12})\) можно найти, используя формулу синуса разности \(\sin(45^\circ - 30^\circ)\): $$ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $$ **Ответ:** \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) 2) Используем формулы приведения: $$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$$ $$\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$$ $$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$$ $$\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$$ Выражение: $$ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) $$ Подставляем значения: $$ \left(-\sin\frac{\pi}{4}\right) \left(-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\frac{\pi}{6} \left(-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{6} \left(-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right) $$ Значения функций: $$ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1 $$ $$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $$ Подставляем значения: $$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{6}}{4} $$ **Ответ:** \(-\frac{\sqrt{6}}{4}\) 3) Используем формулы приведения: $$\sin(-\pi) = \sin(\pi) = 0$$ $$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} ight) = -1$$ $$\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} ight) = 0$$ Выражение: $$ \sin(-\pi) + \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) $$ Подставляем значения: $$ 0 + 0 + (-1) + 0 = -1 $$ **Ответ:** \(-1\)