567. Найти значение выражения: 1) sin(pi/4)*cos(pi/4) - sin(pi/3)*cos(pi/6)

**Ответ: 1) -\frac{1}{4}; 2) \frac{11}{4}; 3) \frac{3-\sqrt{3}}{3}; 4) \frac{3}{2}** Решение: 1) $\sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$ 2) $2 \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3} - \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot 3 - 3 - \frac{1}{4} = 6 - 3 - 0,25 = 2,75 = \frac{11}{4}$ 3) $(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3})(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}) = (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ **Допущение:** В пункте 3 использована формула разности квадратов. Если же в условии во второй скобке другой знак, ответ изменится. Пересчитаем внимательно: $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 - \frac{3}{9} = \frac{2}{3}$. 4) $2 \cos^2 \frac{\pi}{6} - \sin^2 \frac{\pi}{3} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1 = 2 \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + 1 = 0,75 + 1 = 1,75 = \frac{7}{4}$ *Примечание: $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$ для любого допустимого $\alpha$.*