Вычислить: 1) $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

1) Вычислим значение выражения $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Вспомним свойства чётности/нечётности тригонометрических функций: $\cos(-x) = \cos(x)$ $\sin(-x) = -\sin(x)$ $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$ Подставим эти свойства в выражение: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)+\left(-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$ Теперь подставим известные значения тригонометрических функций: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ Выполним вычисления: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + (-1) = -\frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{7}{4}$ **Ответ: $-\frac{7}{4}$** 2) Вычислим значение выражения $\frac{1+\operatorname{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{1+\operatorname{ctg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}$. Вспомним тригонометрические тождества: $1+\operatorname{tg}^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ $1+\operatorname{ctg}^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)}$ И свойства чётности/нечётности: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x) \Rightarrow \operatorname{tg}^2(-x) = (-\operatorname{tg}(x))^2 = \operatorname{tg}^2(x)$ $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x) \Rightarrow \operatorname{ctg}^2(-x) = (-\operatorname{ctg}(x))^2 = \operatorname{ctg}^2(x)$ Значит, наше выражение можно переписать так: $\frac{1+\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}{1+\operatorname{ctg}^2\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}}{\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}} = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)} \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$ Теперь подставим значение $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$: $\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$ **Ответ: $\frac{1}{3}$** 3) Вычислим значение выражения $\cos(-\pi)+\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{3}{2}\pi\right)+\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Используем свойства чётности/нечётности: $\cos(-x) = \cos(x)$ $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$ $\sin(-x) = -\sin(x)$ Перепишем выражение: $\cos(\pi) - \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right) - \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ $\cos(\pi) - \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) - \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ Теперь подставим известные значения: $\cos(\pi) = -1$ $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ $\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) = -1$ $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ Выполним вычисления: $-1 - 0 + (-1) - 1 = -1 - 0 - 1 - 1 = -3$ **Ответ: $-3$** 4) Вычислим значение выражения $\frac{3-\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)-\cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$. Используем свойства чётности/нечётности: $\sin(-x) = -\sin(x) \Rightarrow \sin^2(-x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$ $\cos(-x) = \cos(x) \Rightarrow \cos^2(-x) = (\cos(x))^2 = \cos^2(x)$ Перепишем числитель: $3 - \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$ Вынесем минус за скобки: $3 - \left(\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$ По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, поэтому: $3 - 1 = 2$ Теперь знаменатель: $2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ Подставим значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ Тогда всё выражение равно: $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ **Ответ: $\sqrt{2}$**