Вычислить следующие выражения

1) Воспользуемся свойствами четности/нечетности функций: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$. $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ Значения функций: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ Подставим значения: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 1 = -\frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{7}{4}$ **Ответ: $-\frac{7}{4}$** 2) Воспользуемся формулами: $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ и $1 + \text{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$. $\frac{1 + \text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{1 + \text{ctg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\frac{1}{\cos^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}}{\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}}$ Так как $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, то $\cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha)$ и $\sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha)$. $= \frac{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}}{\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}} = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)} \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$ Значение $\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$ **Ответ: $\frac{1}{3}$** 3) Используем свойства четности/нечетности: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ и $\sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha)$. $2 \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \left(-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$ Значения функций: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Подставим значения: $2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + \frac{2}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}$ **Ответ: $\frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}$** 4) Используем свойства четности/нечетности функций: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Также используем формулы приведения: $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$ $\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ $\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1$ $\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$ Подставим значения: $\cos(-\pi) + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 + 0 - 1 + (-1) = -1 - 1 - 1 = -3$ **Ответ: $-3$** 5) Используем свойства: $\sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha)$, $\cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha)$ и $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. $\frac{3 - \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{3 - \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}$ Зная, что $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, преобразуем числитель: $3 - (\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)) = 3 - 1 = 2$ Значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим значения: $\frac{2}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ **Ответ: $\sqrt{2}$** 6) Используем свойства четности/нечетности: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$. $2 \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 3 + 7,5 \text{tg}(-\pi) + \frac{1}{8} \cos\frac{3}{2}\pi = 2 \left(-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) + 3 - 7,5 \text{tg}(\pi) + \frac{1}{8} \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ Значения функций: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ $\text{tg}(\pi) = 0$ $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ Подставим значения: $2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 3 - 7,5 \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0 = -1 + 3 - 0 + 0 = 2$ **Ответ: $2$**