Решить уравнение $\sqrt{2x + 48} = -x$

Чтобы решить уравнение $\sqrt{2x + 48} = -x$, нужно выполнить несколько шагов: 1. **Найти область допустимых значений (ОДЗ) для $x$.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а правая часть уравнения не может быть положительной (так как квадратный корень всегда неотрицателен). $$2x + 48 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -48 \Rightarrow x \ge -24$$ $$-x \ge 0 \Rightarrow x \le 0$$ Значит, ОДЗ: $x \in [-24; 0]$. 2. **Возвести обе части уравнения в квадрат.** $$(\sqrt{2x + 48})^2 = (-x)^2$$ $$2x + 48 = x^2$$ 3. **Перенести все члены в одну сторону и решить квадратное уравнение.** $$x^2 - 2x - 48 = 0$$ Можно использовать формулу корней квадратного уравнения ($x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$): $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$$ $$x_1 = \frac{-(-2) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ 4. **Проверить полученные корни на соответствие ОДЗ.** Для $x_1 = 8$: $8 \not\in [-24; 0]$, поэтому этот корень не подходит. Для $x_2 = -6$: $-6 \in [-24; 0]$, поэтому этот корень подходит. **Ответ:** $-6$