Решите уравнение $\sqrt[3]{3-x} + \sqrt[3]{25+x} = 4$

Для решения уравнения $\sqrt[3]{3-x} + \sqrt[3]{25+x} = 4$ можно использовать замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{3-x}$ и $b = \sqrt[3]{25+x}$. Тогда уравнение примет вид: $$a+b=4$$ Возведем обе части этого уравнения в куб: $$(a+b)^3 = 4^3$$ $$a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = 64$$ Теперь выразим $a^3$ и $b^3$ через $x$: $$a^3 = (\sqrt[3]{3-x})^3 = 3-x$$ $$b^3 = (\sqrt[3]{25+x})^3 = 25+x$$ Подставим эти выражения в уравнение: $$(3-x) + (25+x) + 3ab(4) = 64$$ $$28 + 12ab = 64$$ $$12ab = 64 - 28$$ $$12ab = 36$$ $$ab = 3$$ Теперь у нас есть система уравнений: $$\begin{cases} a+b = 4 \\ ab = 3 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $a$: $a = 4-b$. Подставим это во второе уравнение: $$(4-b)b = 3$$ $$4b - b^2 = 3$$ $$b^2 - 4b + 3 = 0$$ Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета: $b_1 + b_2 = 4$, $b_1 \cdot b_2 = 3$. Отсюда получаем два возможных значения для $b$: 1. $b_1 = 1$ 2. $b_2 = 3$ Найдем соответствующие значения для $a$: 1. Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 4 - 1 = 3$. 2. Если $b_2 = 3$, то $a_2 = 4 - 3 = 1$. Теперь вернемся к исходным переменным: **Случай 1:** $a=3$ и $b=1$ $$\sqrt[3]{3-x} = 3$$ Возводим обе части в куб: $$3-x = 3^3$$ $$3-x = 27$$ $$-x = 27-3$$ $$-x = 24$$ $$x = -24$$ Проверим это решение с $b=1$: $$\sqrt[3]{25+x} = 1$$ $$25+x = 1^3$$ $$25+x = 1$$ $$x = 1-25$$ $$x = -24$$ Значения $x$ совпадают, значит, $x=-24$ - это решение. **Случай 2:** $a=1$ и $b=3$ $$\sqrt[3]{3-x} = 1$$ Возводим обе части в куб: $$3-x = 1^3$$ $$3-x = 1$$ $$-x = 1-3$$ $$-x = -2$$ $$x = 2$$ Проверим это решение с $b=3$: $$\sqrt[3]{25+x} = 3$$ $$25+x = 3^3$$ $$25+x = 27$$ $$x = 27-25$$ $$x = 2$$ Значения $x$ совпадают, значит, $x=2$ - это решение. **Ответ:** $x_1 = -24$, $x_2 = 2$