Решите уравнение $\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1$

Давай решим это уравнение. $$\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1$$ Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными, и знаменатели не должны быть равны нулю. 1. $2x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$ 2. $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$ (так как $x+1$ находится в знаменателе) 3. $\frac{2x}{x+1} \ge 0$. Учитывая $x > -1$, это означает $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. 4. $\frac{x+1}{2x} \ge 0$. Учитывая $x > -1$, это означает $2x > 0$, то есть $x > 0$ (так как $2x$ находится в знаменателе). Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{\frac{2x}{x+1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = \frac{1}{y}$. Уравнение принимает вид: $$y - \frac{2}{y} = 1$$ Умножим всё на $y$, учитывая, что $y \ne 0$ (так как $x>0$): $$y^2 - 2 = y$$ Перенесём все слагаемые в одну сторону и приравняем к нулю: $$y^2 - y - 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. Корни уравнения: $$y_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Поскольку $y = \sqrt{\frac{2x}{x+1}}$, $y$ не может быть отрицательным. Значит, $y_1 = -1$ нам не подходит. Используем $y_2 = 2$. Вернёмся к замене: $$\sqrt{\frac{2x}{x+1}} = 2$$ Возведём обе части в квадрат: $$\frac{2x}{x+1} = 2^2$$ $$\frac{2x}{x+1} = 4$$ Умножим обе части на $(x+1)$ (мы знаем, что $x+1 \ne 0$): $$2x = 4(x+1)$$ $$2x = 4x + 4$$ Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$2x - 4x = 4$$ $$-2x = 4$$ $$x = \frac{4}{-2}$$ $$x = -2$$ Теперь проверим, входит ли найденное значение $x = -2$ в ОДЗ ($x > 0$). Значение $x = -2$ не входит в ОДЗ, значит, оно не является решением уравнения. **Ответ: решений нет**