Решить уравнение $\sqrt{2x+7} - \sqrt{2-x} = 2$

Нам нужно решить уравнение: $$\sqrt{2x+7} - \sqrt{2-x} = 2$$ Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Выражения под корнями должны быть неотрицательными: 1. $2x+7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3.5$ 2. $2-x \ge 0 \implies 2 \ge x \implies x \le 2$ Значит, ОДЗ: $-3.5 \le x \le 2$. Перенесем второй корень в правую часть уравнения: $$\sqrt{2x+7} = 2 + \sqrt{2-x}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$( \sqrt{2x+7} )^2 = ( 2 + \sqrt{2-x} )^2$$ $$2x+7 = 4 + 4\sqrt{2-x} + (2-x)$$ $$2x+7 = 6 - x + 4\sqrt{2-x}$$ Соберем все члены с $x$ и числа слева: $$2x+x+7-6 = 4\sqrt{2-x}$$ $$3x+1 = 4\sqrt{2-x}$$ Теперь снова возведем обе части уравнения в квадрат. Но сначала нужно убедиться, что левая часть неотрицательна, так как правая часть $4\sqrt{2-x}$ всегда неотрицательна. $$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$$ Учитывая ОДЗ, теперь мы рассматриваем интервал $x \in [-\frac{1}{3}; 2]$. Возводим в квадрат: $$(3x+1)^2 = (4\sqrt{2-x})^2$$ $$9x^2 + 6x + 1 = 16(2-x)$$ $$9x^2 + 6x + 1 = 32 - 16x$$ Перенесем все в левую часть: $$9x^2 + 6x + 16x + 1 - 32 = 0$$ $$9x^2 + 22x - 31 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = 22^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-31)$$ $$D = 484 + 1116$$ $$D = 1600$$ Теперь найдем корни $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-22 - \sqrt{1600}}{2 \cdot 9} = \frac{-22 - 40}{18} = \frac{-62}{18} = -\frac{31}{9}$$ $$x_2 = \frac{-22 + \sqrt{1600}}{2 \cdot 9} = \frac{-22 + 40}{18} = \frac{18}{18} = 1$$ Теперь проверим, какие из найденных корней входят в ОДЗ ($-3.5 \le x \le 2$) и удовлетворяют условию $x \ge -\frac{1}{3}$: 1. $x_1 = -\frac{31}{9} \approx -3.44$. Это значение находится в ОДЗ (от $-3.5$ до $2$). Однако, $-3.44 < -\frac{1}{3}$, поэтому этот корень не подходит из-за условия $3x+1 \ge 0$. 2. $x_2 = 1$. Это значение находится в ОДЗ (от $-3.5$ до $2$) и удовлетворяет условию $1 \ge -\frac{1}{3}$. Таким образом, только $x=1$ является решением уравнения. **Ответ:** $x=1$