3. $5^{-x-2} = 125$
Перепишем $125$ как $5^3$:
$$5^{-x-2} = 5^3$$
Так как основания равны, приравниваем показатели:
$$-x-2 = 3$$
$$-x = 3+2$$
$$-x = 5$$
$$x = -5$$
**Ответ: -5**
4. $\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-7} = 16$
Перепишем $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$ и $16$ как $2^4$:
$$(2^{-1})^{4x-7} = 2^4$$
$$2^{-(4x-7)} = 2^4$$
$$-4x+7 = 4$$
$$-4x = 4-7$$
$$-4x = -3$$
$$x = \frac{3}{4}$$
**Ответ: 0,75**
5. $81^{5-x} = \frac{1}{3}$
Перепишем $81$ как $3^4$ и $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:
$$(3^4)^{5-x} = 3^{-1}$$
$$3^{4(5-x)} = 3^{-1}$$
$$4(5-x) = -1$$
$$20-4x = -1$$
$$-4x = -1-20$$
$$-4x = -21$$
$$x = \frac{21}{4}$$
**Ответ: 5,25**
6. $5 \cdot 25^x = 125$
Перепишем $25$ как $5^2$ и $125$ как $5^3$:
$$5^1 \cdot (5^2)^x = 5^3$$
$$5^1 \cdot 5^{2x} = 5^3$$
$$5^{1+2x} = 5^3$$
$$1+2x = 3$$
$$2x = 3-1$$
$$2x = 2$$
$$x = 1$$
**Ответ: 1**
7. $(0,5)^{x^2-3} = 4$
Перепишем $0,5$ как $\frac{1}{2}$ или $2^{-1}$ и $4$ как $2^2$:
$$(2^{-1})^{x^2-3} = 2^2$$
$$2^{-(x^2-3)} = 2^2$$
$$-x^2+3 = 2$$
$$-x^2 = 2-3$$
$$-x^2 = -1$$
$$x^2 = 1$$
$$x = \pm 1$$
**Ответ: -1; 1**
8. $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-5} = 256^x$
Перепишем $\frac{1}{4}$ как $4^{-1}$ и $256$ как $4^4$:
$$(4^{-1})^{x-5} = (4^4)^x$$
$$4^{-(x-5)} = 4^{4x}$$
$$-x+5 = 4x$$
$$5 = 4x+x$$
$$5 = 5x$$
$$x = 1$$
**Ответ: 1**
9. $2^{3+x} = 0,4 \cdot 5^{3+x}$
Перепишем $0,4$ как $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$:
$$2^{3+x} = \frac{2}{5} \cdot 5^{3+x}$$
Разделим обе части на $5^{3+x}$:
$$\frac{2^{3+x}}{5^{3+x}} = \frac{2}{5}$$
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{3+x} = \frac{2}{5}$$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели (показатель справа равен 1):
$$3+x = 1$$
$$x = 1-3$$
$$x = -2$$
**Ответ: -2**
10. $3^{x-2} - 3^{x-3} = 18$
Вынесем общий множитель $3^{x-3}$:
$$3^{x-3} \cdot (3^1 - 1) = 18$$
$$3^{x-3} \cdot (3-1) = 18$$
$$3^{x-3} \cdot 2 = 18$$
$$3^{x-3} = \frac{18}{2}$$
$$3^{x-3} = 9$$
Перепишем $9$ как $3^2$:
$$3^{x-3} = 3^2$$
Приравниваем показатели:
$$x-3 = 2$$
$$x = 2+3$$
$$x = 5$$
**Ответ: 5**
11. $7^{x-5} = 3^{x-5}$
Разделим обе части на $3^{x-5}$:
$$\frac{7^{x-5}}{3^{x-5}} = 1$$
$$\left(\frac{7}{3}\right)^{x-5} = 1$$
Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому показатель степени должен быть равен 0:
$$x-5 = 0$$
$$x = 5$$
**Ответ: 5**
12. $2^{2x} - 12 \cdot 2^x + 32 = 0$
Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной $y = 2^x$. Тогда уравнение примет вид:
$$y^2 - 12y + 32 = 0$$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$$
$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$y_1 = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12+4}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
$$y_2 = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12-4}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
Теперь вернемся к замене $y = 2^x$:
Случай 1: $y_1 = 8$
$$2^x = 8$$
$$2^x = 2^3$$
$$x = 3$$
Случай 2: $y_2 = 4$
$$2^x = 4$$
$$2^x = 2^2$$
$$x = 2$$
**Ответ: 2; 3**
13. $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$
Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Сделаем замену переменной $y = 3^x$. Тогда уравнение примет вид:
$$y^2 - 4y + 3 = 0$$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$
$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$y_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
$$y_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
Теперь вернемся к замене $y = 3^x$:
Случай 1: $y_1 = 3$
$$3^x = 3$$
$$3^x = 3^1$$
$$x = 1$$
Случай 2: $y_2 = 1$
$$3^x = 1$$
$$3^x = 3^0$$
$$x = 0$$
**Ответ: 0; 1**
