Решите уравнения: 12) 3^{x+4} - 3^{x+3} = 5^{x+4} - 3 * 5^{x+3}, 13) 8 * 4^x - 6 * 2^x + 1 = 0, 14) 3^{2x+1} - 10 * 3^x + 3 = 0, 15) 5^{3x+1} + 34 * 5^{2x} - 7 * 5^x = 0

**Ответ:** 12) $x = -2$ 13) $x_1 = -1$; $x_2 = -2$ 14) $x_1 = 1$; $x_2 = -1$ 15) $x = -1$ **Решение:** 12) $3^{x+4} - 3^{x+3} = 5^{x+4} - 3 \cdot 5^{x+3}$ Вынесем общие множители за скобки: $3^{x+3}(3^1 - 1) = 5^{x+3}(5^1 - 3)$ $3^{x+3} \cdot 2 = 5^{x+3} \cdot 2$ $3^{x+3} = 5^{x+3}$ Разделим обе части на $5^{x+3} \neq 0$: $(\frac{3}{5})^{x+3} = 1 \Rightarrow (\frac{3}{5})^{x+3} = (\frac{3}{5})^0$ $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -2$ 13) $8 \cdot 4^x - 6 \cdot 2^x + 1 = 0$ Пусть $2^x = t, t > 0$, тогда $4^x = t^2$: $8t^2 - 6t + 1 = 0$ $D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$ $t_1 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ Вернемся к замене: $2^x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^x = 2^{-1} \Rightarrow x = -1$ $2^x = \frac{1}{4} \Rightarrow 2^x = 2^{-2} \Rightarrow x = -2$ 14) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$ $3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$ Пусть $3^x = t, t > 0$: $3t^2 - 10t + 3 = 0$ $D = 100 - 36 = 64$ $t_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3$; $t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$ Вернемся к замене: $3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$ $3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$ 15) $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$ $5^x \cdot (5 \cdot 5^{2x} + 34 \cdot 5^x - 7) = 0$ Так как $5^x > 0$, то: $5 \cdot (5^x)^2 + 34 \cdot 5^x - 7 = 0$ Пусть $5^x = t, t > 0$: $5t^2 + 34t - 7 = 0$ $D = 34^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1156 + 140 = 1296 = 36^2$ $t_1 = \frac{-34 + 36}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$; $t_2 = \frac{-34 - 36}{10} = -7$ (не подходит, так как $t > 0$) $5^x = \frac{1}{5} \Rightarrow 5^x = 5^{-1} \Rightarrow x = -1$