15. Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найди биссектрису этого треугольника.

1. Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. В равностороннем треугольнике все углы равны по $60^\circ$. Биссектриса в равностороннем треугольнике является также медианой и высотой. Если мы рассмотрим половину равностороннего треугольника, то получим прямоугольный треугольник. Длина биссектрисы (высоты) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставляем значение стороны $a = 6\sqrt{3}$: $$h = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ **Ответ: 9** 2. В треугольнике MNK угол K равен $164^\circ$. Найди внешний угол при вершине K. Ответ дай в градусах. Внешний угол треугольника и внутренний угол при одной и той же вершине в сумме дают $180^\circ$, так как они образуют смежные углы. Внешний угол при вершине K = $180^\circ - \text{угол K} = 180^\circ - 164^\circ = 16^\circ$. **Ответ: 16** 3. В треугольнике MNK известно, что MN = NK, $\angle MNK = 124^\circ$. Найди угол NMK. Ответ дай в градусах. Так как MN = NK, то треугольник MNK равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона MK, значит $\angle NMK = \angle NKM$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно: $$\angle NMK + \angle NKM + \angle MNK = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle NMK + 124^\circ = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle NMK = 180^\circ - 124^\circ$$ $$2 \cdot \angle NMK = 56^\circ$$ $$\angle NMK = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ$$ **Ответ: 28** 4. В треугольнике MNK угол N равен $90^\circ$, NK = 7, MK = 25. Найди $\cos \angle K$. Треугольник MNK является прямоугольным, так как угол N равен $90^\circ$. Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла K: Прилежащий катет = NK = 7 Гипотенуза = MK = 25 $$\cos \angle K = \frac{\text{NK}}{\text{MK}} = \frac{7}{25}$$ $$\cos \angle K = 0.28$$ **Ответ: 0.28** 5. В треугольнике MNK угол N равен $90^\circ$, $\sin K = \frac{12}{17}$, MK = 68. Найди MN. Треугольник MNK является прямоугольным, так как угол N равен $90^\circ$. Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла K: Противолежащий катет = MN Гипотенуза = MK = 68 $$\sin K = \frac{\text{MN}}{\text{MK}}$$ $$\frac{12}{17} = \frac{\text{MN}}{68}$$ Чтобы найти MN, умножим обе стороны уравнения на 68: $$\text{MN} = \frac{12}{17} \cdot 68$$ $$\text{MN} = 12 \cdot \frac{68}{17}$$ $$\text{MN} = 12 \cdot 4$$ $$\text{MN} = 48$$ **Ответ: 48** 6. В треугольнике MNK известно, что $\angle NMK = 68^\circ$, MP — биссектриса. Найди угол NMP. Ответ дай в градусах. Биссектриса делит угол пополам. Угол NMK равен $68^\circ$. MP - биссектриса угла NMK. Значит, угол NMP равен половине угла NMK: $$\angle NMP = \frac{\angle NMK}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$$ **Ответ: 34** 7. В остроугольном треугольнике MNK проведена высота NH, $\angle NMH = 30^\circ$. Найди угол MNH. Ответ дай в градусах. Высота NH образует прямой угол с основанием MK, то есть $\angle NHM = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNH (потому что $\angle NHM = 90^\circ$). Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике MNH: $$\angle MNH + \angle NMH + \angle NHM = 180^\circ$$ $$\angle MNH + 30^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$ $$\angle MNH + 120^\circ = 180^\circ$$ $$\angle MNH = 180^\circ - 120^\circ$$ $$\angle MNH = 60^\circ$$ **Ответ: 60**