Решите задачи по геометрии из Варианта 2: про равнобедренные треугольники, признаки равенства треугольников и элементы треугольника (медиана, высота, биссектриса).

### ВАРИАНТ 2 **1. Найдите углы $APH$ и $KHP$.** **Ответ:** $\angle APH = 43^\circ$, $\angle KHP = 90^\circ$. **Решение:** 1. В равнобедренном $\triangle APK$ с основанием $AK$ медиана $PH$, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой. 2. Так как $PH$ — высота, то $\angle KHP = 90^\circ$. 3. Так как $PH$ — биссектриса, то $\angle APH = \angle APK : 2 = 86^\circ : 2 = 43^\circ$. --- **2. Докажите, что $\triangle MOB = \triangle KOA$.** **Доказательство:** 1. $MO = OK$, так как $O$ — середина отрезка $MK$ (по условию). 2. $\angle M = \angle K$ (по условию). 3. $\angle MOB = \angle KOA$ как вертикальные углы. 4. Следовательно, $\triangle MOB = \triangle KOA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). --- **3. Используя рисунок, укажите верные утверждения.** **Ответ:** 1, 3, 5. **Обоснование:** 1) **Верно.** $ON$ делит сторону $MK$ пополам ($MN=NK=32$), значит, это медиана. 2) **Неверно.** Угол $\angle ONK$ не обозначен как прямой ($90^\circ$). 3) **Верно.** Линия $EH$ перпендикулярна стороне $CD$ (знак прямого угла), значит, это высота. 4) **Неверно.** $BP$ делит угол пополам, а не сторону. 5) **Верно.** Лучи $AP$ и $PB$ делят угол $ABD$ на два равных угла по $7^\circ$, значит, $BP$ — биссектриса. --- **4. Найдите углы $PHK$ и $KPH$.** **Ответ:** $\angle PHK = 90^\circ$, $\angle KPH = 21^\circ$. **Решение:** 1. В равнобедренном $\triangle RMK$ ($RK = RM$) медиана $PH$, проведённая к основанию $MK$, является высотой и биссектрисой. 2. $\angle PHK = 90^\circ$, так как $PH$ — высота. 3. $\angle KPH = \angle MPK : 2 = 42^\circ : 2 = 21^\circ$, так как $PH$ — биссектриса. --- **5. Найдите $\angle CKD, \angle FDK$ и длину отрезка $FK$.** **Ответ:** $\angle CKD = 90^\circ$, $\angle FDK = 36^\circ$, $FK = 18$ см. **Решение:** 1. $\triangle FCD$ равнобедренный ($FD = CD$). $DK$ — медиана к основанию $FC$, значит, $DK$ также высота и биссектриса. 2. Так как $DK$ — высота, то $\angle CKD = 90^\circ$. 3. Так как $DK$ — биссектриса, то $\angle FDK = \angle CDF : 2 = 72^\circ : 2 = 36^\circ$. 4. Так как $DK$ — медиана, то $FK = KC$. По условию $CF = 18$ см (вероятно, опечатка и $CF=36$ или $KC=18$, но если всё основание $18$, то $FK = 18 : 2 = 9$). **Допущение:** Если в условии сказано, что $CF = 18$ см, то $FK = 9$ см. Однако, если под $CF$ имелась в виду часть, равная $FK$, то $FK = 18$ см. Судя по записи "$CF=18$", $FK = 18 : 2 = 9$ см.