Решите уравнение log2(x + 2) = 1 - log2 x;

Привет! Давай разберем эти задачи. ### Задача 2 Решить уравнение: $\log_2(x+2) = 1 - \log_2 x$. 1. Найдем ОДЗ (область допустимых значений): $\begin{cases} x+2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0$. 2. Используем свойства логарифмов: $\log_2(x+2) + \log_2 x = 1$ $\log_2(x(x+2)) = 1$ $x(x+2) = 2^1$ $x^2 + 2x - 2 = 0$ 3. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$ $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{2} = -1 + \sqrt{3}$ $x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{3}}{2} = -1 - \sqrt{3}$ 4. Проверим ОДЗ ($x > 0$): $-1 - \sqrt{3} < 0$ (не подходит) $-1 + \sqrt{3} \approx -1 + 1.73 > 0$ (подходит) **Ответ: $\sqrt{3}-1$** ### Задача 3 Решить уравнение: $\cos^2 x + 4\sin^2 x = 2\sin 2x$. 1. Вспомним формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. 2. Подставим в уравнение: $\cos^2 x + 4\sin^2 x = 2(2\sin x \cos x)$ $\cos^2 x - 4\sin x \cos x + 4\sin^2 x = 0$ 3. Это уравнение является полным квадратом: $(\cos x - 2\sin x)^2 = 0$ $\cos x - 2\sin x = 0$ $\cos x = 2\sin x$ 4. Разделим обе части на $\cos x$ (так как $\cos x \neq 0$): $1 = 2\tan x$ $\tan x = 0.5$ $x = \arctan(0.5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \arctan(0.5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$**