Найдите неизвестные линейные элементы ∆MNK (∠K = 90°). Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Для решения задач используем свойства прямоугольного треугольника и метрические соотношения в нём. **1.** Дано: $\triangle MNK (\angle K = 90^\circ)$, $MN = 26$, $MK = 10$, $KT \perp MN$. Найти: $MT, TN, KT$. 1. По определению катета: $MK^2 = MT \cdot MN \Rightarrow 10^2 = MT \cdot 26 \Rightarrow 100 = 26MT \Rightarrow MT = \frac{100}{26} = \frac{50}{13} \approx 3,85$. 2. $TN = MN - MT = 26 - \frac{50}{13} = \frac{338 - 50}{13} = \frac{288}{13} \approx 22,15$. 3. Высота: $KT^2 = MT \cdot TN = \frac{50}{13} \cdot \frac{288}{13} = \frac{14400}{169} \Rightarrow KT = \frac{120}{13} \approx 9,23$. **Ответ:** $MT = \frac{50}{13}, TN = \frac{288}{13}, KT = \frac{120}{13}$. **2.** Дано: $\triangle MNK (\angle K = 90^\circ)$, $MN = 25$, $KL \perp MN$, $KL = 12$. Найти: $ML, LN, MK, KN$. Пусть $ML = x$, тогда $LN = 25 - x$. По свойству высоты: $KL^2 = ML \cdot LN$. 1. $12^2 = x(25 - x) \Rightarrow 144 = 25x - x^2 \Rightarrow x^2 - 25x + 144 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 9, x_2 = 16$. Судя по чертежу, $ML < LN$, значит $ML = 9, LN = 16$. 2. $MK = \sqrt{ML \cdot MN} = \sqrt{9 \cdot 25} = 3 \cdot 5 = 15$. 3. $KN = \sqrt{LN \cdot MN} = \sqrt{16 \cdot 25} = 4 \cdot 5 = 20$. **Ответ:** $ML = 9, LN = 16, MK = 15, KN = 20$. **3.** Дано: $\triangle MNK (\angle K = 90^\circ)$, $KE \perp MN$, $ME = 6, EN = 8$. Найти: $MK, KN, KE, MN$. 1. $MN = ME + EN = 6 + 8 = 14$. 2. $KE = \sqrt{ME \cdot EN} = \sqrt{6 \cdot 8} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. 3. $MK = \sqrt{ME \cdot MN} = \sqrt{6 \cdot 14} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$. 4. $KN = \sqrt{EN \cdot MN} = \sqrt{8 \cdot 14} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$. **Ответ:** $MN = 14, KE = 4\sqrt{3}, MK = 2\sqrt{21}, KN = 4\sqrt{7}$. **4.** Дано: $\triangle MNK (\angle K = 90^\circ)$, $KT \perp MN$, $MK = 5, KN = 12$. Найти: $MN, MT, TN, KT$. 1. По т. Пифагора: $MN = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. 2. $MT = \frac{MK^2}{MN} = \frac{25}{13} \approx 1,92$. 3. $TN = \frac{KN^2}{MN} = \frac{144}{13} \approx 11,08$. 4. $KT = \frac{MK \cdot KN}{MN} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4,62$. **Ответ:** $MN = 13, MT = \frac{25}{13}, TN = \frac{144}{13}, KT = \frac{60}{13}$. **5.** Дано: $\triangle MNK (\angle K = 90^\circ)$, $MN = 25, MK = 10, KE \perp MN$. Найти: $ME, EN, KN, KE$. 1. $ME = \frac{MK^2}{MN} = \frac{100}{25} = 4$. 2. $EN = MN - ME = 25 - 4 = 21$. 3. $KN = \sqrt{EN \cdot MN} = \sqrt{21 \cdot 25} = 5\sqrt{21}$. 4. $KE = \sqrt{ME \cdot EN} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$. **Ответ:** $ME = 4, EN = 21, KN = 5\sqrt{21}, KE = 2\sqrt{21}$. **6.** Дано: $\triangle MNK (\angle K = 90^\circ)$, $MN = 50, KN : KM = 3 : 4, KF \perp MN$. Найти: $KN, KM, MF, FN, KF$. 1. Пусть $KN = 3x, KM = 4x$. По т. Пифагора: $(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2 \Rightarrow 25x^2 = 2500 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = 10$. $KN = 30, KM = 40$. 2. $MF = \frac{KM^2}{MN} = \frac{1600}{50} = 32$. 3. $FN = MN - MF = 50 - 32 = 18$. 4. $KF = \sqrt{MF \cdot FN} = \sqrt{32 \cdot 18} = \sqrt{576} = 24$. **Ответ:** $KN = 30, KM = 40, MF = 32, FN = 18, KF = 24$. **7.** Дано: $\triangle MNK (\angle K = 90^\circ)$, $TN - MT = 11, KN : KM = 6 : 5, KT \perp MN$. Найти: $MT, TN, MN, KM, KN$. 1. Пусть $KN = 6x, KM = 5x$. Тогда $MT = \frac{KM^2}{MN} = \frac{25x^2}{MN}$ и $TN = \frac{KN^2}{MN} = \frac{36x^2}{MN}$. 2. $TN - MT = \frac{36x^2 - 25x^2}{MN} = 11 \Rightarrow \frac{11x^2}{MN} = 11 \Rightarrow x^2 = MN$. 3. По т. Пифагора: $MN^2 = KM^2 + KN^2 = 25x^2 + 36x^2 = 61x^2$. 4. Подставим $x^2 = MN$: $MN^2 = 61MN \Rightarrow MN = 61$. 5. $MT = \frac{25 \cdot 61}{61} = 25, TN = 36$. (Разность $36 - 25 = 11$ верно). 6. $KM = \sqrt{25 \cdot 61} = 5\sqrt{61}, KN = \sqrt{36 \cdot 61} = 6\sqrt{61}$. **Ответ:** $MN = 61, MT = 25, TN = 36, KM = 5\sqrt{61}, KN = 6\sqrt{61}$. **8.** Дано: $\triangle MNK (\angle K = 90^\circ)$, $MK = 3\sqrt{5}, KN = 6, KF \perp MN, ME = EN$. Найти: $MN, MF, FN, KF, KE$. 1. $MN = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + 6^2} = \sqrt{45 + 36} = \sqrt{81} = 9$. 2. $MF = \frac{MK^2}{MN} = \frac{45}{9} = 5$. 3. $FN = MN - MF = 9 - 5 = 4$. 4. $KF = \sqrt{MF \cdot FN} = \sqrt{5 \cdot 4} = 2\sqrt{5}$. 5. $E$ — середина $MN$ ($ME = EN = 4,5$). $EF = MF - ME = 5 - 4,5 = 0,5$. 6. В $\triangle KFE$ ($\angle F = 90^\circ$): $KE = \sqrt{KF^2 + EF^2} = \sqrt{20 + 0,25} = \sqrt{20,25} = 4,5$. (Или как медиана к гипотенузе: $KE = \frac{1}{2}MN = 4,5$). **Ответ:** $MN = 9, MF = 5, FN = 4, KF = 2\sqrt{5}, KE = 4,5$.