Найди площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и катет равны соответственно 15 и 9.

1. Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужен второй катет. Мы можем найти его, используя теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты. Пусть гипотенуза $c = 15$, а один из катетов $a = 9$. Тогда: $$15^2 = 9^2 + b^2$$ $$225 = 81 + b^2$$ $$b^2 = 225 - 81$$ $$b^2 = 144$$ $$b = \sqrt{144}$$ $$b = 12$$ Теперь, когда у нас есть оба катета, мы можем найти площадь треугольника по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$. $$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 108$$ $$S = 54$$ **Ответ: 54** 2. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, а медиана, опущенная на основание, является также высотой. Разделим основание пополам, чтобы получить прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона, один катет — половина основания, а другой катет — высота. Боковая сторона $c = 41$, основание $a = 80$. Половина основания будет $a/2 = 80/2 = 40$. Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора: $$c^2 = (a/2)^2 + h^2$$ $$41^2 = 40^2 + h^2$$ $$1681 = 1600 + h^2$$ $$h^2 = 1681 - 1600$$ $$h^2 = 81$$ $$h = \sqrt{81}$$ $$h = 9$$ Теперь, когда мы знаем основание и высоту, мы можем найти площадь треугольника по формуле: $S = \frac{1}{2}ah$. $$S = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 9$$ $$S = 40 \cdot 9$$ $$S = 360$$ **Ответ: 360** 3. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $C$ — угол между ними. Одна сторона $a = 5\sqrt{2}$, другая сторона $b = 7$, угол между ними $C = 45^ ext{o}$. Значение $\sin 45^ ext{o} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем значения в формулу: $$S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot \frac{2}{2}$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 1$$ $$S = 17.5$$ **Ответ: 17.5** 4. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ выглядит так: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Нам дана медиана (высота) $h = 2\sqrt{3}$. $$2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Чтобы найти $a$, умножим обе стороны на 2: $$2\sqrt{3} \cdot 2 = a\sqrt{3}$$ $$4\sqrt{3} = a\sqrt{3}$$ Теперь разделим обе стороны на $\sqrt{3}$: $$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ $$a = 4$$ **Ответ: 4**