1. Косинус острого угла $M$ треугольника $MNK$ равен $\frac{3}{5}$. Найди $\sin \angle M$.
Поскольку угол $M$ острый, то его синус будет положительным. Используем основное тригонометрическое тождество:
$$ \sin^2 M + \cos^2 M = 1 $$
$$ \sin^2 M = 1 - \cos^2 M $$
$$ \sin M = \sqrt{1 - \cos^2 M} $$
Подставляем значение $\cos M = \frac{3}{5}$:
$$ \sin M = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$
**Ответ:** $\frac{4}{5}$
2. Найди площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и катет равны соответственно 15 и 9.
Пусть гипотенуза $c = 15$, а катет $a = 9$. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора:
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
$$ 9^2 + b^2 = 15^2 $$
$$ 81 + b^2 = 225 $$
$$ b^2 = 225 - 81 $$
$$ b^2 = 144 $$
$$ b = \sqrt{144} = 12 $$
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b $$
$$ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54 $$
**Ответ:** 54
3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 41, а основание 80. Найди площадь треугольника.
Пусть боковая сторона $b = 41$, а основание $a = 80$. Чтобы найти площадь, нам нужна высота $h$, опущенная на основание. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Значит, она делит основание пополам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания. Катеты этого треугольника — высота и половина основания ($80/2 = 40$), а гипотенуза — боковая сторона (41).
По теореме Пифагора:
$$ h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2 $$
$$ h^2 + 40^2 = 41^2 $$
$$ h^2 + 1600 = 1681 $$
$$ h^2 = 1681 - 1600 $$
$$ h^2 = 81 $$
$$ h = \sqrt{81} = 9 $$
Теперь найдем площадь треугольника:
$$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h $$
$$ S = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 9 = 40 \cdot 9 = 360 $$
**Ответ:** 360
4. В треугольнике одна из сторон равна $5 \cdot \sqrt{2}$, другая сторона равна 7, а угол между ними равен $45^{\circ}$. Найди площадь треугольника.
Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma $$
Где $a = 5\sqrt{2}$, $b = 7$, $\gamma = 45^{\circ}$.
Зная, что $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем значения:
$$ S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot \frac{2}{2} $$
$$ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 1 = 17.5 $$
**Ответ:** 17.5
5. Медиана равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}$. Найди сторону этого треугольника.
В равностороннем треугольнике медиана является также высотой. Пусть сторона треугольника равна $a$. Высота (медиана) $h$ в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле:
$$ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$
Нам дана медиана (высота) $h = 2\sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу:
$$ 2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$
Теперь найдем $a$:
Умножим обе части на 2:
$$ 4\sqrt{3} = a\sqrt{3} $$
Разделим обе части на $\sqrt{3}$:
$$ a = 4 $$
**Ответ:** 4
