Найдите угол между прямыми CD и BC в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$

1) Прямые $CD$ и $BC$ перпендикулярны, так как являются сторонами квадрата $ABCD$. Значит, угол между ними равен $90^\circ$. **Ответ: $90^\circ$** 2) Прямые $AA_1$ и $C_1D_1$ перпендикулярны. Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$, а значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $C_1D_1$. Значит, угол между ними равен $90^\circ$. **Ответ: $90^\circ$** 3) Прямые $AA_1$ и $D_1C$ являются скрещивающимися. Перенесем прямую $AA_1$ так, чтобы она проходила через точку $D_1$. Этой прямой будет $DD_1$. Угол между $DD_1$ и $D_1C$ — это угол $\angle CD_1D$ в прямоугольном треугольнике $D_1DC$. Поскольку $DD_1 = DC$ (стороны куба), треугольник $D_1DC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Значит, $\angle CD_1D = 45^\circ$. **Ответ: $45^\circ$** 4) Прямые $AC$ и $B_1D_1$ являются скрещивающимися. Прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$. Угол между $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между $AC$ и $BD$. Диагонали квадрата $ABCD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Значит, угол между ними равен $90^\circ$. **Ответ: $90^\circ$** 5) Прямые $A_1C_1$ и $AC$ параллельны, так как они являются диагоналями параллельных граней куба (квадратов $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$). Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$. **Ответ: $0^\circ$**