Даны куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найди угол между прямыми $AB$ и $BB_1$.

1. Прямые $AB$ и $BB_1$ перпендикулярны, так как $BB_1$ — это боковое ребро, а $AB$ — это ребро основания. В кубе все грани — квадраты, а в квадрате соседние стороны перпендикулярны. Значит, угол между ними $90^\circ$. **Ответ: $90^\circ$** 2. Прямые $AB$ и $B_1D_1$ скрещивающиеся. Чтобы найти угол между ними, нужно перенести одну из прямых так, чтобы они пересекались. Прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$. Тогда угол между $AB$ и $B_1D_1$ равен углу между $AB$ и $BD$. Рассмотрим грань $ABCD$. Это квадрат. Диагональ $BD$ образует со стороной $AB$ угол $45^\circ$. **Ответ: $45^\circ$** 3. Прямые $A_1D$ и $B_1C$ скрещивающиеся. Прямая $B_1C$ параллельна прямой $A_1D_1$ (так как $A_1B_1C_1D_1$ — это квадрат, и $B_1C$ — диагональ, а $A_1D_1$ — сторона). Но это не совсем верно. Скорее, $B_1C$ параллельна $AD_1$ (диагонали противоположных граней). Чтобы найти угол, можно перенести прямую $B_1C$ в прямую $AD_1$. Тогда угол между $A_1D$ и $B_1C$ равен углу между $A_1D$ и $AD_1$. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Это квадрат. $AD_1$ и $A_1D$ — это диагонали этого квадрата. Диагонали квадрата перпендикулярны. Значит, угол между ними $90^\circ$. **Ответ: $90^\circ$** 4. Прямые $B_1D_1$ и $C_1C$ скрещивающиеся. Чтобы найти угол между ними, перенесём прямую $C_1C$ в прямую $BB_1$. Тогда угол между $B_1D_1$ и $C_1C$ равен углу между $B_1D_1$ и $BB_1$. Рассмотрим грань $A_1B_1C_1D_1$. Это квадрат. $B_1D_1$ — это диагональ, а $B_1B$ (или $BB_1$) — это ребро, перпендикулярное этой грани. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Значит, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе $B_1D_1$. **Ответ: $90^\circ$**