Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми:

1) $CD$ и $BC$ перпендикулярны, так как это рёбра квадрата $ABCD$. Поэтому угол между ними равен $90^\circ$. 2) $AA_1$ и $C_1D_1$. Прямая $C_1D_1$ параллельна $CD$. Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, а значит, и прямой $CD$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярна и $C_1D_1$. Угол между ними равен $90^\circ$. 3) $AA_1$ и $D_1C$. Прямая $AA_1$ параллельна $DD_1$. Угол между $DD_1$ и $D_1C$ — это угол $\angle DD_1C$. В прямоугольном треугольнике $DD_1C$ (так как $DD_1 \perp D_1C_1$ и $D_1C_1 \perp CD$, то $DD_1 \perp D_1C$) катеты $DD_1$ и $D_1C_1$ равны (рёбра куба), значит $\triangle DD_1C_1$ равнобедренный прямоугольный, и $\angle DD_1C_1 = 45^\circ$. Поскольку $D_1C_1$ параллельна $CD$, то угол между $DD_1$ и $D_1C$ равен углу между $AA_1$ и $D_1C$. В прямоугольном треугольнике $D_1DC$ (потому что $DD_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, а значит, и $DC$) $DD_1 = DC$ (рёбра куба), поэтому $\triangle D_1DC$ равнобедренный прямоугольный. Значит, $\angle DD_1C = 45^\circ$. **Ответ:** $45^\circ$ 4) $AC$ и $B_1D_1$. Диагональ $B_1D_1$ параллельна диагонали $BD$. Угол между $AC$ и $BD$ — это угол между диагоналями квадрата $ABCD$, который равен $90^\circ$. **Ответ:** $90^\circ$ 5) $A_1C_1$ и $AC$. $A_1C_1$ параллельна $AC$. Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$. **Ответ:** $0^\circ$