Найди угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Чтобы найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, давай перенесем одну из прямых так, чтобы они начинались из одной точки, но при этом были параллельны исходным. Прямая $AB_1$ - это диагональ боковой грани $ABB_1A_1$. Прямая $BC_1$ - это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$. Заметим, что прямая $A_1D$ параллельна $BC_1$. Это потому, что $A_1B_1CD$ — это параллелограмм. А в кубе $A_1B_1CD$ — это прямоугольник, так как все грани куба — квадраты, а значит $A_1B_1 \parallel DC$ и $A_1B_1=DC$. Тогда $BC_1 \parallel A_1D$. Тогда угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ будет равен углу между прямыми $AB_1$ и $A_1D$. Теперь рассмотрим треугольник $A_1DB_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Длина отрезка $AB_1$ — это диагональ квадрата со стороной $a$, поэтому $AB_1 = a\sqrt{2}$. Длина отрезка $A_1D$ — это тоже диагональ квадрата со стороной $a$, поэтому $A_1D = a\sqrt{2}$. Длина отрезка $B_1D$ — это диагональ квадрата $A_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$, поэтому $B_1D = a\sqrt{2}$. Таким образом, треугольник $A_1DB_1$ является равносторонним, так как все его стороны равны $a\sqrt{2}$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, угол между прямыми $AB_1$ и $A_1D$ (а значит, и между $AB_1$ и $BC_1$) равен $60^\circ$. **Ответ: $60^\circ$**