4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: y = 2cos x + 1, [π/2; π].

### 4. Исследование функции Функция $y = 2\cos x + 1$ на отрезке $[\pi/2; \pi]$. Находим производную: $y' = -2\sin x$. На заданном промежутке $\sin x \ge 0$, значит $y' \le 0$ — функция убывает. Наибольшее значение на левом конце: $y(\pi/2) = 2\cos(\pi/2) + 1 = 2(0) + 1 = 1$. Наименьшее значение на правом конце: $y(\pi) = 2\cos(\pi) + 1 = 2(-1) + 1 = -1$. **Ответ: наибольшее 1, наименьшее -1.** ### 5. Возрастание функции Функция $f(x) = (a - 1)x^2 + 4x - 2$ является квадратичной. Она может возрастать на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ только в том случае, если она вырождается в линейную функцию (так как парабола всегда меняет направление). Следовательно, коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю: $a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$. При $a = 1$ получаем $f(x) = 4x - 2$, коэффициент наклона $4 > 0$, функция возрастает. **Ответ: a = 1.** ### 6. Теория вероятностей Вероятность перегорания лампы $p = 0,3$, вероятность того, что лампа будет работать $q = 1 - 0,3 = 0,7$. Нам нужно, чтобы хотя бы одна лампа не перегорела. Это событие противоположно тому, что перегорят обе лампы. Вероятность, что перегорят обе: $0,3 \cdot 0,3 = 0,09$. Искомая вероятность: $1 - 0,09 = 0,91$. **Ответ: 0,91.** ### 7. Площадь фигуры Площадь $S = \int_{0}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$. **Ответ: 2 $\frac{2}{3}$.** ### 8. Векторы Даны $\vec{m}(2; -1; 3)$ и $\vec{n}(-1; 2; 5)$. 1) $\vec{a} = -2(2; -1; 3) + 3(-1; 2; 5) = (-4-3; 2+6; -6+15) = (-7; 8; 9)$. 2) Косинус угла $\cos \phi = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|}$. Скалярное произведение: $2(-1) + (-1)(2) + 3(5) = -2 - 2 + 15 = 11$. Длины векторов: $|\vec{m}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}$; $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{30}$. $\cos \phi = \frac{11}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{30}} = \frac{11}{\sqrt{420}} = \frac{11}{2\sqrt{105}}$. **Ответ: 1) $\vec{a}(-7; 8; 9)$; 2) $\frac{11}{2\sqrt{105}}$.** ### 9. Площадь поверхности цилиндра Сторона основания $a = 18$ см. В правильной треугольной призме диагональ боковой грани и сторона основания образуют прямоугольный треугольник, где угол наклона $45^\circ$ означает, что высота призмы $h = a = 18$ см. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 3\sqrt{3} \cdot 18 = 108\pi\sqrt{3}$. **Ответ: $108\pi\sqrt{3}$ см$^2$.** ### 10. Отношение объёмов Отношение площадей поверхностей шаров: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}$. Так как $S \propto R^2$, то отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$. Отношение объёмов: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$. **Ответ: 8 : 27.**