а) Решите уравнение cos 2x - 5sqrt(2) cos x - 5 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi; -3pi/2].

а) **Ответ: $\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$** Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Подставим в уравнение: $$2\cos^2 x - 1 - 5\sqrt{2}\cos x - 5 = 0$$ $$2\cos^2 x - 5\sqrt{2}\cos x - 6 = 0$$ Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$2t^2 - 5\sqrt{2}t - 6 = 0$$ $$D = (5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 50 + 48 = 98 = (7\sqrt{2})^2$$ $$t_1 = \frac{5\sqrt{2} + 7\sqrt{2}}{4} = \frac{12\sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{2} \approx 4,24 > 1 \text{ (не подходит)}$$ $$t_2 = \frac{5\sqrt{2} - 7\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Обратная замена: $$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ б) **Ответ: $-\frac{5\pi}{4}$** Отберем корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$: 1. При $n = -1$: - $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} = -1,25\pi$ (входит в отрезок, так как $-3 \le -1,25 \le -1,5$) - $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} = -2,75\pi$ (входит в отрезок, так как $-3 \le -2,75 \le -1,5$) **Допущение:** В пункте (б) корень $-2,75\pi$ также попадает в диапазон $[-3\pi; -1,5\pi]$. Проверим границы: $-3\pi = -12\pi/4$, $-1,5\pi = -6\pi/4$. Точки: $-11\pi/4$ и $-5\pi/4$. **Итоговые корни для (б): $-\frac{11\pi}{4}; -\frac{5\pi}{4}$.**