а) Решим уравнение:
$$ \frac{4^{\sin 2x} - 2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}} = 0 $$
Область определения уравнения: $7\sin x > 0 \Rightarrow \sin x > 0$.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \($\sqrt{7\sin x} \ne 0$$\).
Числитель должен быть равен нулю:
$$ 4^{\sin 2x} - 2^{2\sqrt{3}\sin x} = 0 $$
$$ 4^{\sin 2x} = 2^{2\sqrt{3}\sin x} $$
Запишем \($4$$\) как \($2^2$$\):
$$ (2^2)^{\sin 2x} = 2^{2\sqrt{3}\sin x} $$
$$ 2^{2\sin 2x} = 2^{2\sqrt{3}\sin x} $$
Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны:
$$ 2\sin 2x = 2\sqrt{3}\sin x $$
Разделим обе части на 2:
$$ \sin 2x = \sqrt{3}\sin x $$
Используем формулу двойного угла для синуса: \($\sin 2x = 2\sin x \cos x$$\):
$$ 2\sin x \cos x = \sqrt{3}\sin x $$
Перенесём все слагаемые в одну сторону:
$$ 2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x = 0 $$
Вынесем \($\sin x$$\) за скобки:
$$ \sin x (2\cos x - \sqrt{3}) = 0 $$
Это уравнение распадается на два случая:
1) \($\sin x = 0$$\)
2) \($2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow 2\cos x = \sqrt{3} \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\)
Рассмотрим каждый случай с учётом условия \($\sin x > 0$$\):
1) \($\sin x = 0$$\). При этом условии \($x = \pi k$$\) (где \($k \in \mathbb{Z}$$\)). Однако это не удовлетворяет условию \($\sin x > 0$$\), так как при этих значениях \($\sin x$$\) равен 0. Значит, этот случай нам не подходит.
2) \($\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\). Решениями этого уравнения являются:
$$ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$
Теперь нужно выбрать те значения, для которых \($\sin x > 0$$\).
- Если \($x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$\), то \($\sin(\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$$\). Это значение больше 0, значит, эти корни подходят.
- Если \($x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$\), то \($\sin(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$$\). Это значение меньше 0, значит, эти корни не подходят.
Итак, решением уравнения является серия корней:
$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$
**Ответ:** \($x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$\)
б) Найдем корни, принадлежащие отрезку \($[-\frac{13\pi}{2}; -5\pi]$$\).
Переведём границы отрезка в десятичные дроби для удобства:
$$ -\frac{13\pi}{2} = -6.5\pi $$
$$ -5\pi = -5\pi $$
Итак, наш отрезок \($[-6.5\pi; -5\pi]$$\).
Подставляем различные целые значения \($n$$\) в формулу \($x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$\) и проверяем, попадает ли корень в отрезок.
При \($n = -2$$\):
$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi (-2) = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} $$
$$ -\frac{23\pi}{6} \approx -3.83\pi $$
Это значение не входит в отрезок \($[-6.5\pi; -5\pi]$$\).
При \($n = -3$$\):
$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi (-3) = \frac{\pi}{6} - 6\pi = \frac{\pi - 36\pi}{6} = -\frac{35\pi}{6} $$
$$ -\frac{35\pi}{6} \approx -5.83\pi $$
Проверим, попадает ли \($-\frac{35\pi}{6}$$\) в отрезок \($[-\frac{13\pi}{2}; -5\pi]$$\):
$$ -\frac{13\pi}{2} \le -\frac{35\pi}{6} \le -5\pi $$
Разделим все части на \($\pi$$\):
$$ -\frac{13}{2} \le -\frac{35}{6} \le -5 $$
$$ -6.5 \le -5.833... \le -5 $$
Это верно. Значит, \($x = -\frac{35\pi}{6}$$\) является корнем, принадлежащим отрезку.
При \($n = -4$$\):
$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi (-4) = \frac{\pi}{6} - 8\pi = \frac{\pi - 48\pi}{6} = -\frac{47\pi}{6} $$
$$ -\frac{47\pi}{6} \approx -7.83\pi $$
Это значение не входит в отрезок \($[-6.5\pi; -5\pi]$$\), так как \($-7.83\pi < -6.5\pi$$\).
Таким образом, на заданном отрезке лежит только один корень.
**Ответ:** \($-\frac{35\pi}{6}$$\)
