Решите уравнение log₃²(x-1) - 2log_{1/3}(9/(x-1)) = 2^{log₂ 7}

Решим логарифмическое уравнение: $\log_{3}^2(x-1) - 2\log_{\frac{1}{3}}\frac{9}{x-1} = 2^{\log_2 7}$ 1. **ОДЗ (Область допустимых значений):** $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$. 2. **Упростим правую часть:** По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, поэтому $2^{\log_2 7} = 7$. 3. **Преобразуем второй логарифм:** Используем свойства логарифма $\log_{a^n} b = \frac{1}{n}\log_a b$ и $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$: $-2\log_{\frac{1}{3}}\frac{9}{x-1} = -2\log_{3^{-1}}\frac{9}{x-1} = \frac{-2}{-1}\log_3 \frac{9}{x-1} = 2(\log_3 9 - \log_3(x-1)) = 2(2 - \log_3(x-1)) = 4 - 2\log_3(x-1)$. 4. **Подставим всё в уравнение:** $\log_3^2(x-1) + 4 - 2\log_3(x-1) = 7$ $\log_3^2(x-1) - 2\log_3(x-1) - 3 = 0$ 5. **Введем замену:** Пусть $t = \log_3(x-1)$. Уравнение принимает вид: $t^2 - 2t - 3 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 3$ $t_2 = -1$ 6. **Обратная замена:** 1) $\log_3(x-1) = 3$ $x - 1 = 3^3$ $x - 1 = 27$ $x = 28$ (подходит по ОДЗ) 2) $\log_3(x-1) = -1$ $x - 1 = 3^{-1}$ $x - 1 = \frac{1}{3}$ $x = 1\frac{1}{3}$ (подходит по ОДЗ) **Ответ: 1\frac{1}{3}; 28**