Решите уравнение $\log_2(15+x) = \log_2(3x-1) + 3$

Чтобы решить уравнение $\log_2(15+x) = \log_2(3x-1) + 3$, нужно сначала привести все логарифмы к одной стороне и использовать свойства логарифмов. 1. Перенесем $\log_2(3x-1)$ в левую часть: $$\log_2(15+x) - \log_2(3x-1) = 3$$ 2. Используем свойство логарифма $\log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$: $$\log_2\left(\frac{15+x}{3x-1}\right) = 3$$ 3. Представим число 3 как логарифм по основанию 2: $3 = \log_2(2^3) = \log_2 8$. $$\log_2\left(\frac{15+x}{3x-1}\right) = \log_2 8$$ 4. Так как основания логарифмов равны, то и выражения под логарифмами должны быть равны: $$\frac{15+x}{3x-1} = 8$$ 5. Решим полученное алгебраическое уравнение. Умножим обе части на $(3x-1)$. Учтем, что $3x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{3}$. $$15+x = 8(3x-1)$$ $$15+x = 24x - 8$$ 6. Перенесем x в одну сторону, а числа — в другую: $$15+8 = 24x - x$$ $$23 = 23x$$ 7. Разделим на 23: $$x = 1$$ 8. Проверим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под логарифмами должны быть больше нуля: 1. $15+x > 0 \implies 15+1 > 0 \implies 16 > 0$ (верно) 2. $3x-1 > 0 \implies 3(1)-1 > 0 \implies 3-1 > 0 \implies 2 > 0$ (верно) Оба условия выполняются, значит, $x=1$ является решением. **Ответ:** $x=1$