Решите логарифмическое уравнение $\log_{1/2}^2 (64x) - 3 \cdot \log_2 \left(\frac{x}{16}\right) = 84$

14. Данное уравнение содержит логарифм по основанию $1/2$. Для удобства переведем его к основанию 2, используя свойство $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В нашем случае $\log_{1/2} (64x) = \frac{\log_2 (64x)}{\log_2 (1/2)} = \frac{\log_2 (64x)}{-1} = -\log_2 (64x)$. Изначальное уравнение: $$ \log_{1/2}^2 (64x) - 3 \cdot \log_2 \left(\frac{x}{16}\right) = 84 $$ Заменим $\log_{1/2} (64x)$ на $-\log_2 (64x)$: $$ (-\log_2 (64x))^2 - 3 \cdot \log_2 \left(\frac{x}{16}\right) = 84 $$ $$ (\log_2 (64x))^2 - 3 \cdot \log_2 \left(\frac{x}{16}\right) = 84 $$ Теперь используем свойства логарифмов $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_a (b/c) = \log_a b - \log_a c$: $$ (\log_2 64 + \log_2 x)^2 - 3 \cdot (\log_2 x - \log_2 16) = 84 $$ Известно, что $\log_2 64 = 6$ и $\log_2 16 = 4$: $$ (6 + \log_2 x)^2 - 3 \cdot (\log_2 x - 4) = 84 $$ Пусть $y = \log_2 x$. Подставим $y$ в уравнение: $$ (6 + y)^2 - 3(y - 4) = 84 $$ Раскроем скобки: $$ 36 + 12y + y^2 - 3y + 12 = 84 $$ $$ y^2 + 9y + 48 = 84 $$ $$ y^2 + 9y + 48 - 84 = 0 $$ $$ y^2 + 9y - 36 = 0 $$ Решим квадратное уравнение для $y$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 $$ $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ y_1 = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-9 + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ $$ y_2 = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-9 - 15}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$ Теперь вернемся к замене $y = \log_2 x$: Для $y_1 = 3$: $$ \log_2 x = 3 $$ $$ x = 2^3 $$ $$ x = 8 $$ Для $y_2 = -12$: $$ \log_2 x = -12 $$ $$ x = 2^{-12} $$ $$ x = \frac{1}{2^{12}} $$ $$ x = \frac{1}{4096} $$ Проверим ОДЗ (область допустимых значений): аргументы логарифмов должны быть положительными. $64x > 0 \implies x > 0$ $x/16 > 0 \implies x > 0$ Оба найденных значения $x=8$ и $x=1/4096$ удовлетворяют условию $x>0$. **Ответ:** $x=8$, $x=\frac{1}{4096}$