Решите уравнение log₅(x³ + x) - log₅ x = log₅ 10

Question

Вопрос:

Решите уравнение log₅(x³ + x) - log₅ x = log₅ 10

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: x = 3** Решение: 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под логарифмами должны быть больше нуля: $\begin{cases} x^3 + x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(x^2 + 1) > 0 \\ x > 0 \end{cases}$ Так как $x^2 + 1$ всегда больше нуля, то $x > 0$. Значит, **ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$**. 2. Используем свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$: $\log_5 \left(\frac{x^3 + x}{x}\right) = \log_5 10$ 3. Сократим дробь в левой части (так как $x \neq 0$ по ОДЗ): $\frac{x^3 + x}{x} = \frac{x(x^2 + 1)}{x} = x^2 + 1$ 4. Получаем уравнение: $\log_5 (x^2 + 1) = \log_5 10$ 5. Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы: $x^2 + 1 = 10$ $x^2 = 9$ $x_1 = 3$ $x_2 = -3$ 6. Проверим корни по ОДЗ: $x = 3$ — подходит ($3 > 0$). $x = -3$ — не подходит ($ -3 < 0$).

Решите уравнение log₅(x³ + x) - log₅ x = log₅ 10

Ответ ассистента

Другие решения