Решите уравнение cos 2x - cos x = 0, укажите корни, принадлежащие отрезку [0; 5π/2].

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$; корни на отрезке: $0; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; 2\pi$. Решение: 1. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $2\cos^2 x - 1 - \cos x = 0$ $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ 2. Пусть $\cos x = t$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - t - 1 = 0$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$ $t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$ $t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0,5$ 3. Обратная замена: а) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $\cos x = -0,5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ Общая формула: $x = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$. 4. Отбор корней на отрезке $[0; \frac{5\pi}{2}]$: - При $n=0: x = 0$ (подходит) - При $n=1: x = \frac{2\pi}{3}$ (подходит, т.к. $\frac{2}{3} < 2,5$) - При $n=2: x = \frac{4\pi}{3}$ (подходит, т.к. $\frac{4}{3} < 2,5$) - При $n=3: x = 2\pi$ (подходит, т.к. $2 < 2,5$) - При $n=4: x = \frac{8\pi}{3} \approx 2,66\pi$ (не подходит, т.к. $> 2,5\pi$)