Нюша посчитала сумму 13 чисел и получила 2010. Бараш посчитал их произведение и получил 20112758945. Докажите, что кто-то из них ошибся.

Для доказательства воспользуемся признаками делимости. 1. Пусть наши 13 чисел — это целые числа $a_1, a_2, ..., a_{13}$. 2. Сумма чисел: $a_1 + a_2 + ... + a_{13} = 2010$. 3. Произведение чисел: $a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{13} = 20112758945$. Разберем число 20112758945 на признаки делимости: - Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5. Следовательно, хотя бы одно из чисел должно делиться на 5. - Попробуем проверить сумму цифр числа 20112758945: $2+0+1+1+2+7+5+8+9+4+5 = 44$. Число не делится на 3 (44 не делится на 3). - Заметим интересную закономерность: число, равное сумме своих множителей, при делении на 3 дает такой же остаток, как и их произведение, только если множители подобраны определенным образом, но проще проверить четность. Более простой способ: - Сумма 13 чисел равна 2010 (четное число). - Чтобы сумма 13 целых чисел была четной, количество нечетных слагаемых должно быть четным (например, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 нечетных чисел). - Произведение Бараша 20112758945 — нечетное число. Это означает, что все 13 чисел должны быть нечетными. - Если все 13 чисел нечетные, то их сумма должна быть нечетной (сумма нечетного количества нечетных чисел всегда нечетна). - Но по условию сумма 2010 — четное число. Получили противоречие. **Ответ:** Кто-то из них ошибся (точнее, такие числа не могут существовать одновременно).