Реши задачу: 1) В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 15, cos BAC = √19/10. Найди высоту AH.

1. Смотри, в треугольнике ABC, который равнобедренный (потому что AC = BC), нам нужно найти высоту AH. * Мы знаем, что cos угла BAC равен $\frac{\sqrt{19}}{10}$, а сторона AB равна 15. * Так как косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то мы можем найти AH. * Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нём $AH = AC \cdot cos(\angle BAC)$. * Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle ABC$. * Проведём высоту CH к основанию AB. Она разделит AB пополам, так как треугольник равнобедренный. Значит, $BH = \frac{1}{2} AB = \frac{15}{2} = 7.5$. * Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нём $BC = \frac{BH}{cos(\angle ABC)} = \frac{7.5}{\frac{\sqrt{19}}{10}} = \frac{75}{\sqrt{19}}$. * Так как $AC = BC$, то $AC = \frac{75}{\sqrt{19}}$. * Теперь можем найти AH: $AH = AC \cdot cos(\angle BAC) = \frac{75}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{75}{10} = 7.5$. **Ответ: 7.5** 2. Чтобы найти длину вектора $\vec{c}$, когда $\vec{c} = 2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$, и зная длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (9 и 60 соответственно) и их скалярное произведение (429), можно использовать формулу для длины вектора: * $|\vec{c}|^2 = (2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b})^2 = 4|\vec{a}|^2 + \frac{4}{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \frac{1}{9}|\vec{b}|^2$. * Подставляем известные значения: $|\vec{a}| = 9$, $|\vec{b}| = 60$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 429$. * $|\vec{c}|^2 = 4 \cdot 9^2 + \frac{4}{3} \cdot 429 + \frac{1}{9} \cdot 60^2 = 4 \cdot 81 + \frac{4 \cdot 429}{3} + \frac{3600}{9} = 324 + 572 + 400 = 1296$. * $|\vec{c}| = \sqrt{1296} = 36$. **Ответ: 36** 3. Допустим, что ребро куба равно $a$. Тогда объем куба равен $V = a^3$. * Если каждое ребро увеличить на 1, то новое ребро будет $a + 1$, а новый объем $(a + 1)^3$. * Известно, что $(a + 1)^3 - a^3 = 169$. * Раскроем скобки: $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 = 169$. * Упростим: $3a^2 + 3a + 1 = 169$. * Перенесем все в одну сторону: $3a^2 + 3a - 168 = 0$. * Разделим на 3: $a^2 + a - 56 = 0$. * Решим квадратное уравнение. Корни: $a_1 = 7$ и $a_2 = -8$. Отрицательный корень не подходит, так как длина ребра не может быть отрицательной. **Ответ: 7** 4. В группе 9 человек, которых делят на 3 подгруппы по 3 человека в каждой. Нужно найти вероятность, что Евгений и Марина окажутся в одной подгруппе. * Сначала определим общее количество способов разделить 9 человек на 3 группы по 3 человека. Это сложная комбинаторная задача. * Предположим, что Евгений уже находится в какой-то группе. Тогда в этой группе есть 2 свободных места. * Всего осталось 8 человек, из которых нам нужно выбрать 2, чтобы они оказались в одной группе с Евгением. Число способов выбрать 2 человек из 8 равно $C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$. * Теперь нужно разделить оставшиеся 6 человек на 2 группы по 3. Число способов разделить 6 человек на две группы по 3 равно $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$. Но так как порядок групп не важен, нужно разделить на 2: $\frac{20}{2} = 10$. * Общее число способов разделить 9 человек на 3 группы по 3 равно $28 \cdot 10 = 280$. * Теперь рассмотрим случай, когда Евгений и Марина в одной группе. В группе с ними остается 1 свободное место. Выбрать 1 человека из оставшихся 7 можно 7 способами. * Оставшиеся 6 человек нужно разделить на 2 группы по 3, что можно сделать 10 способами (как было рассчитано ранее). * Таким образом, число способов, когда Евгений и Марина в одной группе, равно $7 \cdot 10 = 70$. * Вероятность того, что Евгений и Марина окажутся в одной подгруппе, равна $\frac{70}{280} = \frac{1}{4}$. **Ответ: 1/4 или 0.25** 5. Допустим, всего закупается $x$ яиц. * Тогда из первого хозяйства закупается $0.35x$ яиц, и все они высшей категории. * Из второго хозяйства закупается $0.65x$ яиц, из которых $0.6 \cdot 0.65x = 0.39x$ высшей категории. * Всего высшую категорию получают $0.35x + 0.39x = 0.74x$ яиц. * По условию, всего высшую категорию получают 55% яиц, то есть $0.55x$. * Получается противоречие. Вероятно, в условии опечатка. Предположим, что из второго хозяйства 60% яиц *не* высшей категории. Тогда высшую категорию из второго хозяйства составят 40%, то есть $0.4 \cdot 0.65x = 0.26x$. * Тогда всего высшую категорию получают $0.35x + 0.26x = 0.61x$ яиц. * Вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства, если оно высшей категории, равна $\frac{0.35x}{0.61x} = \frac{35}{61} \approx 0.5738$. **Ответ: $\frac{35}{61}$ или примерно 0.5738** 6. Решим уравнение $7^{5-2x} = 0.49 \cdot 10^{5-2x}$. * Запишем 0.49 как $$\frac{49}{100}$$, тогда уравнение выглядит так: $7^{5-2x} = \frac{49}{100} \cdot 10^{5-2x}$. * Преобразуем: $7^{5-2x} = \frac{7^2}{10^2} \cdot 10^{5-2x}$. * Разделим обе части на $10^{5-2x}$: $\frac{7^{5-2x}}{10^{5-2x}} = \frac{7^2}{10^2}$. * Запишем левую часть как степень дроби: $(\frac{7}{10})^{5-2x} = (\frac{7}{10})^2$. * Так как основания равны, приравняем показатели: $5 - 2x = 2$. * Решим уравнение: $2x = 5 - 2$, $2x = 3$, $x = \frac{3}{2} = 1.5$. **Ответ: 1.5** 7. Найдем значение выражения $\sqrt{12} \cos^2{\frac{5\pi}{12}} - \sqrt{3}$. * Сначала упростим $\sqrt{12}$: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. * Теперь выражение выглядит так: $2\sqrt{3} \cos^2{\frac{5\pi}{12}} - \sqrt{3}$. * Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки: $\sqrt{3}(2 \cos^2{\frac{5\pi}{12}} - 1)$. * Вспомним формулу двойного угла: $\cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1$. В нашем случае $x = \frac{5\pi}{12}$, значит $2x = \frac{5\pi}{6}$. * Тогда выражение в скобках равно $\cos{\frac{5\pi}{6}}$. * $\cos{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. * Теперь подставим это в наше выражение: $\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} = -1.5$. **Ответ: -1.5**