Задание 1. Найдите производные функций 1) y = x^2 + x^3...

Для решения заданий воспользуемся правилами дифференцирования: 1. $(u \pm v)' = u' \pm v'$ 2. $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ 3. $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ 4. $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(C)' = 0$. **Задание 1. Найдите производные функций** 1) $y' = (x^2 + x^3)' = 2x + 3x^2$ 2) $y' = (\sin x + 3)' = \cos x + 0 = \cos x$ 3) $y' = (x^5 - 8x^{10})' = 5x^4 - 80x^9$ 4) $y' = (\frac{1}{x} - 4\cos x)' = (x^{-1} - 4\cos x)' = -x^{-2} + 4\sin x = -\frac{1}{x^2} + 4\sin x$ 5) $y' = (x \cdot \cos x)' = (x)'\cos x + x(\cos x)' = \cos x - x\sin x$ 6) $y' = ((4 - x^2)\sin x)' = (4 - x^2)'\sin x + (4 - x^2)(\sin x)' = -2x\sin x + (4 - x^2)\cos x$ 7) $y' = (x(x^2 - 5x + 1))' = (x^3 - 5x^2 + x)' = 3x^2 - 10x + 1$ 8) $y' = (\frac{x^2}{1 + x})' = \frac{(x^2)'(1 + x) - x^2(1 + x)'}{(1 + x)^2} = \frac{2x(1 + x) - x^2}{(1 + x)^2} = \frac{2x + 2x^2 - x^2}{(1 + x)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(1 + x)^2}$ 9) $y' = (\frac{x^3 - 3x}{1 - 2x})' = \frac{(3x^2 - 3)(1 - 2x) - (x^3 - 3x)(-2)}{(1 - 2x)^2} = \frac{3x^2 - 6x^3 - 3 + 6x + 2x^3 - 6x}{(1 - 2x)^2} = \frac{-4x^3 + 3x^2 - 3}{(1 - 2x)^2}$ **Задание 2. Найти $y'(x_0)$** $y = \frac{2x^2 - 3x}{4x - 7}, x_0 = -1$ $y' = \frac{(4x - 3)(4x - 7) - (2x^2 - 3x) \cdot 4}{(4x - 7)^2} = \frac{16x^2 - 28x - 12x + 21 - 8x^2 + 12x}{(4x - 7)^2} = \frac{8x^2 - 28x + 21}{(4x - 7)^2}$ $y'(-1) = \frac{8(-1)^2 - 28(-1) + 21}{(4(-1) - 7)^2} = \frac{8 + 28 + 21}{(-11)^2} = \frac{57}{121}$ **Задание 3. Составить уравнения касательной и нормали** $y = x^3 - 3x^2 + 2, x_0 = 1$ 1. Значение функции: $y(x_0) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ 2. Производная: $y' = 3x^2 - 6x$ 3. Угловой коэффициент: $k = y'(x_0) = 3(1)^2 - 6(1) = -3$ 4. Уравнение касательной: $y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) \Rightarrow y = 0 - 3(x - 1) \Rightarrow y = -3x + 3$ 5. Уравнение нормали: $y = y(x_0) - \frac{1}{y'(x_0)}(x - x_0) \Rightarrow y = 0 - \frac{1}{-3}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$