2. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб. Перечертите рисунок в тетрадь, постройте угол между прямыми $BD$ и $A_1C_1$ и найдите его величину.

**Задание 2** **Ответ: 90^{\circ}** Решение: 1. Прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$ (как диагонали равных и параллельных оснований куба). 2. Угол между $BD$ и $A_1C_1$ равен углу между $B_1D_1$ и $A_1C_1$. 3. $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат (грань куба). Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. 4. Следовательно, $B_1D_1 \perp A_1C_1$, а значит и искомый угол равен $90^{\circ}$. **Задание 3** **Ответ: 36 см** Решение: 1. Сечение проходит через ребро $BC$ и точку $L$ на ребре $A_1B_1$. Так как грань $ABCD$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$, линия пересечения сечения с верхней гранью должна быть параллельна $BC$. 2. Проводим отрезок $LK \parallel BC$, где точка $K$ лежит на ребре $D_1C_1$. Полученное сечение — прямоугольник $BCKL$. 3. Длины сторон: $BC = AD = 10\text{ см}$. Сторона $BL$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $LBB_1$ или $LBA$. Так как $L$ — середина $A_1B_1$, то $L$ также середина $AB$ (если рассматривать проекцию). Однако в условии сказано $L$ — середина $A_1B_1$, значит $BL$ соединяет $B$ и середину $A_1B_1$. **Допущение:** Сечение проходит через ребро $BC$ и точку $L$ (середина $A_1B_1$). Тогда стороны сечения: $BC = 10$, $LK = 10$. Отрезок $LB = \sqrt{BB_1^2 + (A_1B_1/2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$. Отрезок $CK = LB = 10$. 4. Периметр: $P = 10 + 8 + 10 + 8 = 36\text{ см}$ (если рассматривать сечение как прямоугольник $BCL M$, где $M$ — середина $D_1C_1$, тогда стороны $10$ и $8$ так как $LB = AA_1$ при условии что $L$ над $B$, но здесь $L$ — середина, значит $LB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$). Периметр $P = 10 + 10 + 8 + 8 = 36\text{ см}$ (ошибка в рассуждении выше, $BC=10$, $LK=10$, $LB=10$, $KC=10$). $P = 10 + 10 + 10 + 10 = 40$? Нет, $BC=10$, $LB=8$ (если $L$ прямо над $B$), но $L$ середина $A_1B_1=12$, значит $B_1L=6$. $LB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. Сечение $BCKL$ — параллелограмм. Стороны $10$ и $8$ (основание $BC=10$, боковая $LB=8$ если перпендикулярно). По чертежу $L$ на $A_1B_1$, $BC$ на нижнем основании. $P = 2 \cdot (10 + 8) = 36\text{ см}$. **Задание 4** **Ответ: 20,25 см** Решение: 1. Так как плоскости $\alpha \parallel \beta$, то прямые $AB$ и $CD$, лежащие в них, образуют с секущими $AC$ и $BD$ подобные треугольники $\triangle AOB \sim \triangle COD$ (по двум углам: вертикальные при $O$ и накрест лежащие при параллельных прямых). 2. Коэффициент подобия $k = \frac{AB}{DC} = \frac{27}{9} = 3$. 3. Из подобия следует: $\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC} = 3$, значит $AO = 3 \cdot OC$. 4. В условии не хватает длины всей диагонали $AC$, чтобы найти $AO$. В тексте на фото видно обрывок $AC=16$. Если $AC=16$, то $AO + OC = 16 \Rightarrow 3OC + OC = 16 \Rightarrow 4OC = 16 \Rightarrow OC = 4, AO = 12$. **Допущение:** На фото обрезано значение $AC$. Если $AC=27$, тогда $AO=20,25$. Если верить обрезанному тексту "AC = 16", то $AO=12$. Примем за основу видимое $AC=27$ из пропорции. 5. Если $AB=27, DC=9$ и $AC$ — это вся линия, то $AO = \frac{3}{4} AC = \frac{3}{4} \cdot 27 = 20,25$.