Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в которых грань ABCD является квадратом. Известно, что AB = 8, AA1 = ∑105. Найдите косинус угла между прямыми A1D и AC.

Фотография

Ответ ассистента

Допущение: Грань $ABCD$ является квадратом. 1. Так как $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=8$, то $AD=8$. Диагональ основания $AC = −−−−−−−−\sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{8^2+8^2} = 8\sqrt{2}$. 2. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1D$ и $AC$ перенесем $AC$ параллельно в плоскость верхней грани: $AC ∥ A_1C_1$. Искомый угол ̑ равен углу между $A_1D$ и $A_1C_1$ (или смежному с ним) в ┳$A_1DC_1$. 3. Найдем стороны ┳$A_1DC_1$: $A_1C_1 = AC = 8\sqrt{2}$; $A_1D = −−−−−−−−−−\sqrt{AA_1^2+AD^2} = \sqrt{(\sqrt{105})^2+8^2} = \sqrt{105+64} = \sqrt{169} = 13$; $DC_1 = −−−−−−−−−−\sqrt{CC_1^2+CD^2} = \sqrt{(\sqrt{105})^2+8^2} = 13$. 4. В равнобедренном ┳$A_1DC_1$ ($A_1D=DC_1=13$) по теореме косинусов: $DC_1^2 = A_1D^2 + A_1C_1^2 - 2 \cdot A_1D \cdot A_1C_1 \cdot \cos ̑$ $13^2 = 13^2 + (8\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 13 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \cos ̑$ $0 = 128 - 208\sqrt{2} \cdot \cos ̑$ $\cos ̑ = \frac{128}{208\sqrt{2}} = \frac{8}{13\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{26} = \frac{4\sqrt{2}}{13}$. **Ответ: ••••••\frac{4\sqrt{2}}{13}**

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в которых грань ABCD является квадратом. Известно, что AB = 8, AA1 = ∑105. Найдите косинус угла между прямыми A1D и AC.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения