№ 3. Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите синус угла, который образует гипотенуза треугольника с этой плоскостью.

Фотография

Ответ ассистента

**№ 3** Пусть $a$ — катет прямоугольного равнобедренного треугольника. Тогда гипотенуза равна $a\sqrt{2}$. 1. Пусть один катет лежит на плоскости $\alpha$. Высота треугольника, опущенная на этот катет, и есть второй катет $a$. 2. Расстояние от вершины треугольника (не лежащей в плоскости) до плоскости $\alpha$: $h = a \cdot \sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 3. Синус угла $\beta$ между гипотенузой и плоскостью $\alpha$ равен отношению расстояния $h$ к длине гипотенузы: $\sin \beta = \frac{h}{a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2 \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$. **Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$**. **№ 4** Пусть отрезок $AB = 5\sqrt{5}$ см. Плоскости $\alpha \perp \beta$. $A \in \alpha, B \in \beta$. 1. Опустим перпендикуляры $AA_1$ и $BB_1$ на линию пересечения плоскостей $l$. $AA_1 = 5$ см, $BB_1 = 8$ см. 2. В прямоугольном треугольнике $AA_1B$ (так как $AA_1 \perp \beta$, то $AA_1 \perp A_1B$): $A_1B^2 = AB^2 - AA_1^2 = (5\sqrt{5})^2 - 5^2 = 125 - 25 = 100$. 3. В прямоугольном треугольнике $A_1B_1B$ на плоскости $\beta$ (угол $B_1 = 90^\circ$): $A_1B_1^2 = A_1B^2 - BB_1^2 = 100 - 8^2 = 100 - 64 = 36$. 4. $A_1B_1 = \sqrt{36} = 6$ см. **Ответ: 6 см**. **№ 5** 1. В $\triangle ABC$ ($AC=BC=13, AB=24$) проведем высоту $CM \perp AB$. $M$ — середина $AB$, $AM=12$. $CM = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ см. 2. В $\triangle ABD$ ($AD=BD=15, AB=24$) проведем высоту $DM \perp AB$. $DM = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ см. 3. Линейный угол между плоскостями — $\angle CMD = 60^\circ$. 4. По теореме косинусов для $\triangle CMD$: $CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos 60^\circ = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 0.5 = 25 + 81 - 45 = 61$. 5. $CD = \sqrt{61}$ см. **Ответ: $\sqrt{61}$ см**.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения