К плоскости прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр BK, равный a. AB = a, AD = a√2. Вычислите угол между прямой KD и плоскостью: 1) прямоугольника; 2) треугольника BKC.

Для решения задачи 76 воспользуемся определениями угла между прямой и плоскостью. **Дано:** $ABCD$ — прямоугольник, $BK \perp (ABCD)$, $BK = a$, $AB = a$, $AD = a\sqrt{2}$. **Решение:** 1) **Угол между прямой $KD$ и плоскостью прямоугольника ($ABCD$):** Проекцией наклонной $KD$ на плоскость $(ABCD)$ является отрезок $BD$. Искомый угол — $\angle KDB$. Из прямоугольного $\triangle ABD$ по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. В прямоугольном $\triangle KBD$ ($\angle KBD = 90^\circ$): $\text{tg} \angle KDB = \frac{BK}{BD} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $\angle KDB = 30^\circ$. 2) **Угол между прямой $KD$ и плоскостью треугольника $BKC$:** Так как $CD \perp BC$ (стороны прямоугольника) и $CD \perp BK$ (так как $BK$ перпендикуляр к плоскости), то $CD \perp (BKC)$. Значит, проекцией наклонной $KD$ на плоскость $(BKC)$ является отрезок $KC$. Искомый угол — $\angle DKC$. В прямоугольном $\triangle DKC$ ($\angle DCK = 90^\circ$): $DC = AB = a$. Из прямоугольного $\triangle BKC$ по теореме Пифагора: $KC = \sqrt{BK^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = a\sqrt{3}$. $\text{tg} \angle DKC = \frac{DC}{KC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $\angle DKC = 30^\circ$. **Ответ:** 1) $30^\circ$; 2) $30^\circ$.