№ 3. Проекцией прямоугольника ABCD на плоскость у является квадрат A1BCD1. Найдите величину угла между плоскостью у и плоскостью прямоугольника, если AB : BC = 2 : 1. № 4. Плоскости двух равных равнобедренных прямоугольных треугольников ABC и ACD, имеющих общую гипотенузу, взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние между их вершинами B и D, если AB = 3 см.

Question

Вопрос:

№ 3. Проекцией прямоугольника ABCD на плоскость у является квадрат A1BCD1. Найдите величину угла между плоскостью у и плоскостью прямоугольника, если AB : BC = 2 : 1. № 4. Плоскости двух равных равнобедренных прямоугольных треугольников ABC и ACD, имеющих общую гипотенузу, взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние между их вершинами B и D, если AB = 3 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

№ 3. **Ответ: 60°**. Решение: 1. Обозначим стороны прямоугольника $ABCD$ как $BC = a$, тогда $AB = 2a$ (так как $AB : BC = 2 : 1$). 2. Проекцией $ABCD$ на плоскость $\gamma$ является квадрат $A_1BCD_1$. Сторона $BC$ общая для прямоугольника и его проекции, значит, она лежит на линии пересечения плоскостей. Так как проекция — квадрат, то $A_1B = BC = a$. 3. Угол $\alpha$ между плоскостями — это угол между прямой $AB$ и её проекцией $A_1B$ (так как $AB \perp BC$ и $A_1B \perp BC$). 4. В прямоугольном треугольнике $ABA_1$ ($∠ AA_1B = 90^{\circ}$): $\cos \alpha = \frac{A_1B}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$. 5. $\alpha = \arccos \frac{1}{2} = 60^{\circ}$. № 4. **Ответ: 3 см**. Решение: 1. Треугольники $ABC$ и $ACD$ — равнобедренные прямоугольные с общей гипотенузой $AC$. Значит, $AB = BC = 3$ см и $AD = CD = 3$ см. 2. Обозначим середину гипотенузы $AC$ как точку $O$. Так как треугольники равнобедренные, медианы $BO$ и $DO$ являются высотами ($BO \perp AC$, $DO \perp AC$). 3. Угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ равен $90^{\circ}$ (по условию). Линия пересечения плоскостей — $AC$. Следовательно, линейный угол двугранного угла — это $∠ BOD = 90^{\circ}$. 4. Найдем гипотенузу $AC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ см. 5. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $BO = DO = \frac{1}{2} AC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см. 6. В прямоугольном треугольнике $BOD$ ($∠ O = 90^{\circ}$) найдем $BD$ по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{BO^2 + DO^2} = \sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{18}{4} + \frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения