Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD равен 45°. Треугольник ABC — равносторонний со стороной 4√3 см, треугольник ABD — равнобедренный, AD = BD = √14 см. Найдите отрезок CD.

3. 1. Пусть $AB$ — общая сторона (линия пересечения плоскостей). В равностороннем $\triangle ABC$ высота $CH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 6$ см. 2. В равнобедренном $\triangle ABD$ ($AD=BD=\sqrt{14}$) высота $DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{14 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{14 - 12} = \sqrt{2}$ см. 3. По теореме косинусов для $\triangle CHD$ (где $\angle CHD = 45^\circ$): $CD^2 = CH^2 + DH^2 - 2 \cdot CH \cdot DH \cdot \cos 45^\circ = 36 + 2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 38 - 12 = 26$. $CD = \sqrt{26}$ см. **Ответ: $\sqrt{26}$ см.** 4. 1. Пусть отрезок $MN = 5\sqrt{5}$, его концы лежат в плоскостях $\alpha \perp \beta$. Опустим перпендикуляры $MA \perp c$ и $NB \perp c$ на линию пересечения $c$. Тогда $MA=5$, $NB=8$. 2. Расстояние между основаниями $AB = x$. По теореме о длине отрезка в пространстве: $MN^2 = MA^2 + NB^2 + AB^2$. 3. $(5\sqrt{5})^2 = 5^2 + 8^2 + x^2 \Rightarrow 125 = 25 + 64 + x^2 \Rightarrow x^2 = 125 - 89 = 36 \Rightarrow x = 6$ см. **Ответ: 6 см.** 5. 1. Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный ($AC=BC=a$), $AB = a\sqrt{2}$. Высота к гипотенузе $CH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. 2. Пусть плоскость $\alpha$ проходит через $AB$. Угол между плоскостями $\angle CHC_1 = 45^\circ$ (где $CC_1 \perp \alpha$). Тогда $CC_1 = CH \cdot \sin 45^\circ = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{2}$. 3. Синус угла между катетом $AC$ и плоскостью $\alpha$: $\sin \phi = \frac{CC_1}{AC} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2} = 0,5$. **Ответ: 0,5.**